Obliczenia z funkcją gamma

The funkcja gamma definiuje się następującą skomplikowaną formułą:

Γ ( z ) = ∫₀^∞mi ^{- t}t^z-1dt

Jedno pytanie, które ludzie mają, kiedy po raz pierwszy spotykają się z tym mylącym równaniem, brzmi: „Jak wykorzystać tę formułę do obliczenia wartości funkcja gamma? ” To ważne pytanie, ponieważ trudno jest zrozumieć, co ta funkcja w ogóle oznacza i co oznaczają wszystkie symbole dla.

Jednym ze sposobów odpowiedzi na to pytanie jest spojrzenie na kilka przykładowych obliczeń z funkcją gamma. Zanim to zrobimy, musimy znać kilka rzeczy z rachunku różniczkowego, na przykład jak zintegrować niepoprawną całkę typu I, i że e jest stałą matematyczną.

Przed wykonaniem jakichkolwiek obliczeń sprawdzamy motywację tych obliczeń. Wiele razy funkcje gamma pojawiają się za kulisami. Kilka funkcji gęstości prawdopodobieństwa podano w kategoriach funkcji gamma. Przykłady obejmują rozkład gamma i rozkład t-studenta. Nie można przecenić znaczenia funkcji gamma.

Pierwszym przykładowym obliczeniem, które będziemy badać, jest znalezienie wartości funkcji gamma dla Γ (1). Można to znaleźć przez ustawienie

∫₀^∞mi ^{- t}dt

Powyższą całkę obliczamy w dwóch krokach:

• Całka nieoznaczona ∫mi ^{- t}dt= -mi ^{- t} + do
• Jest to niewłaściwa całka, więc mamy ∫₀^∞mi ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -mi ^{- b} + mi ⁰ = 1

Następny przykład obliczenia, który rozważymy, jest podobny do ostatniego przykładu, ale zwiększamy wartość z o 1. Teraz obliczamy wartość funkcji gamma dla Γ (2) przez ustawienie z = 2 w powyższym wzorze. Kroki są takie same jak powyżej:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞mi ^{- t}t dt

Całka nieoznaczona ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -mi ^{- t} + C.. Chociaż tylko zwiększyliśmy wartość z do 1 potrzeba więcej pracy, aby obliczyć tę całkę. Aby znaleźć tę całkę, musimy użyć techniki z rachunku różniczkowego znanego jako integracja przez części. Używamy teraz limitów integracji jak wyżej i musimy obliczyć:

lim_{b → ∞}- być ^{- b} -mi ^{- b} -0e ⁰ + mi ⁰.

Wynik z rachunku zwanego regułą L’Hospital pozwala nam obliczyć limit limitu_{b → ∞}- być ^{- b} = 0. Oznacza to, że wartość naszej całki powyżej wynosi 1.

Kolejna funkcja funkcji gamma, która łączy ją z Factorial jest wzorem Γ (z +1 ) =zΓ (z ) dla z dowolna liczba zespolona z dodatnią real część. Powodem tego jest bezpośredni wynik wzoru na funkcję gamma. Używając integracji przez części, możemy ustalić tę właściwość funkcji gamma.