Znaczenie wzajemnie wykluczających się statystyk

Prawdopodobnie dwa wydarzenia mówi się, że wykluczają się wzajemnie wtedy i tylko wtedy gdy wydarzenia nie mają wspólnych wyników. Jeśli weźmiemy pod uwagę zdarzenia jako zbiory, powiedzielibyśmy, że dwa zdarzenia wykluczają się wzajemnie, gdy ich przecięciem jest pusty zestaw. Możemy to oznaczać ZA i b są wzajemnie wykluczające się ze wzoru ZA ∩ b = Ø. Podobnie jak w przypadku wielu koncepcji z prawdopodobieństwa, niektóre przykłady pomogą zrozumieć tę definicję.

Załóżmy, że my Rzuć dwie sześciokątne kości i dodaj liczbę kropek widocznych na kostce. Zdarzenie składające się z „suma jest parzysta” wyklucza się wzajemnie ze zdarzenia „suma jest nieparzysta”. Powodem tego jest to, że nie ma możliwości, aby liczba była parzysta i nieparzysta.

Teraz przeprowadzimy ten sam eksperyment prawdopodobieństwa, rzucając dwiema kostkami i dodając liczby pokazane razem. Tym razem rozważymy zdarzenie polegające na uzyskaniu nieparzystej sumy i zdarzenie polegające na tym, że suma będzie większa niż dziewięć. Te dwa wydarzenia nie wykluczają się wzajemnie.

Powód jest oczywisty, gdy badamy wyniki wydarzeń. Pierwsze wydarzenie miało wyniki 3, 5, 7, 9 i 11. Drugie wydarzenie zakończyło się wynikiem 10, 11 i 12. Ponieważ 11 jest w obu tych przypadkach, wydarzenia nie wykluczają się wzajemnie.

Ilustrujemy dalej innym przykładem. Załóżmy, że dobieramy kartę ze standardowej talii 52 kart. Losowanie serca nie wyklucza się wzajemnie w przypadku losowania króla. Jest tak, ponieważ istnieje karta (król kier), która pojawia się w obu tych wydarzeniach.

Są chwile, kiedy bardzo ważne jest ustalenie, czy dwa zdarzenia wykluczają się wzajemnie, czy nie. Wiedza, czy dwa zdarzenia wykluczają się wzajemnie, wpływa na obliczenie prawdopodobieństwa wystąpienia jednego lub drugiego.

Wróć do przykładu karty. Jeśli wyciągniemy jedną kartę ze standardowej talii 52 kart, jakie jest prawdopodobieństwo, że narysowaliśmy serce lub króla?

Najpierw podziel to na poszczególne wydarzenia. Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że narysowaliśmy serce, najpierw liczymy liczbę serc w talii jako 13, a następnie dzielimy przez całkowitą liczbę kart. Oznacza to, że prawdopodobieństwo serca wynosi 13/52.

Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że narysowaliśmy króla, zaczynamy od zliczenia całkowitej liczby królów, co daje cztery, a następnie podzielenia przez całkowitą liczbę kart, która wynosi 52. Prawdopodobieństwo, że narysowaliśmy króla, wynosi 4/52.

Problem polega teraz na znalezieniu prawdopodobieństwa wyciągnięcia króla lub serca. Oto, gdzie musimy być ostrożni. Bardzo kuszące jest dodanie prawdopodobieństwa 13/52 i 4/52 razem. To nie byłoby poprawne, ponieważ dwa zdarzenia nie wykluczają się wzajemnie. Król kier został policzony dwukrotnie w tych prawdopodobieństwach. Aby przeciwdziałać podwójnemu liczeniu, musimy odjąć prawdopodobieństwo narysowania króla i serca, które wynosi 1/52. Dlatego prawdopodobieństwo, że narysowaliśmy króla lub serce, wynosi 16/52.

Formuła znana jako reguła dodawania daje alternatywny sposób rozwiązania problemu, takiego jak powyższy. Reguła dodawania faktycznie odnosi się do kilku formuł, które są ściśle ze sobą powiązane. Musimy wiedzieć, czy nasze wydarzenia wzajemnie się wykluczają, aby wiedzieć, jaką formułę dodatku należy zastosować.