Gdybyś poprosił kogoś o nazwanie jego ulubionej stałej matematycznej, prawdopodobnie uzyskałbyś jakieś zagadkowe spojrzenia. Po chwili ktoś może zgłosić się na ochotnika najlepsza stała to pi. Ale to nie jedyna ważna stała matematyczna. Drugim, jeśli nie pretendentem do korony najbardziej wszechobecnej stałej jest mi. Liczba ta pojawia się w rachunku różniczkowym, teorii liczb, prawdopodobieństwie i Statystyka. Przebadamy niektóre cechy tego niezwykłego numeru i zobaczymy, jakie ma ono powiązania ze statystykami i prawdopodobieństwem.
Wartość mi
Jak pi mi jest irracjonalny prawdziwy numer. Oznacza to, że nie można go zapisać jako ułamka i że jego rozwinięcie dziesiętne trwa wiecznie, bez powtarzającego się bloku liczb, który ciągle się powtarza. Numer mi jest również transcendentalny, co oznacza, że nie jest on źródłem niezerowego wielomianu o racjonalnych współczynnikach. Pierwsze pięćdziesiąt miejsc po przecinku podaje mi = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definicja mi
Numer mi został odkryty przez ludzi, którzy byli ciekawi złożonego zainteresowania. W tej formie odsetek główny zarabia, a następnie generowane odsetki zarabiają na sobie. Zaobserwowano, że im większa częstotliwość łączenia okresów w ciągu roku, tym wyższa jest generowana kwota odsetek. Na przykład możemy spojrzeć na składanie zainteresowania:
- Co roku lub raz w roku
- Co pół roku lub dwa razy w roku
- Co miesiąc lub 12 razy w roku
- Codziennie lub 365 razy w roku
Całkowita kwota odsetek wzrasta dla każdego z tych przypadków.
Pojawiło się pytanie, ile pieniędzy można zarobić na odsetkach. Aby spróbować zarobić jeszcze więcej pieniędzy, teoretycznie moglibyśmy zwiększyć liczbę okresów złożonych do tak dużej liczby, jak chcieliśmy. Efektem końcowym tego wzrostu jest to, że rozważamy ciągłe powiększanie zainteresowania.
Podczas gdy generowane odsetki rosną, robi się to bardzo powoli. Całkowita kwota pieniędzy na rachunku faktycznie się stabilizuje, a wartość, na którą stabilizuje się, to mi. Aby wyrazić to za pomocą wzoru matematycznego, mówimy, że limit jako n wzrost o (1 + 1 /n)n = mi.
Zastosowania mi
Numer mi pojawia się w całej matematyce. Oto kilka miejsc, w których pojawia się:
- Jest podstawą logarytmu naturalnego. Ponieważ Napier wynalazł logarytmy, mi jest czasem określany jako stała Napiera.
- W rachunku różniczkowym funkcja wykładnicza mix ma unikalną właściwość bycia własną pochodną.
- Wyrażenia obejmujące mix i mi-x łączą się, tworząc hiperboliczny sinus i hiperboliczny cosinus.
- Dzięki pracy Eulera wiemy, że podstawowe stałe matematyki są powiązane ze wzorem miiΠ + 1 = 0, gdzie ja jest liczbą urojoną, która jest pierwiastkiem kwadratowym liczby ujemnej.
- Numer mi pojawia się w różnych formułach w całej matematyce, szczególnie w obszarze teorii liczb.
Wartość mi w statystyce
Znaczenie liczby mi nie ogranicza się tylko do kilku dziedzin matematyki. Istnieje również kilka zastosowań tego numeru mi w statystyce i prawdopodobieństwie. Niektóre z nich są następujące:
- Numer mi pojawia się w wzór na funkcję gamma.
- Wzory dla standardowy rozkład normalny obejmuje mi do ujemnej mocy. Ta formuła obejmuje również pi.
- Wiele innych dystrybucji wymaga użycia tej liczby mi. Na przykład wszystkie formuły dla rozkładu t, rozkładu gamma i rozkładu chi-kwadrat zawierają wszystkie liczby mi.