Ważną częścią statystyki wnioskowania jest testowanie hipotez. Podobnie jak w przypadku uczenia się czegokolwiek związanego z matematyką, pomocne jest przeanalizowanie kilku przykładów. Poniżej przeanalizowano przykład testu hipotez i obliczono prawdopodobieństwo błędy typu I i typu II.
Zakładamy, że utrzymują się proste warunki. Mówiąc dokładniej, założymy, że mamy prosta losowa próbka z populacji, która jest albo normalnie dystrybuowane lub ma wystarczająco dużą wielkość próbki, którą możemy zastosować centralne twierdzenie graniczne. Zakładamy również, że znamy odchylenie standardowe populacji.
Stwierdzenie problemu
Worek chipsów ziemniaczanych jest pakowany wagowo. Łącznie zakupiono i zważono dziewięć worków, a średnia waga tych dziewięciu worków wynosi 10,5 uncji. Załóżmy, że standardowe odchylenie populacji wszystkich takich worków z frytkami wynosi 0,6 uncji. Podana waga wszystkich opakowań wynosi 11 uncji. Ustaw poziom istotności na 0,01.
Pytanie 1
Czy próbka potwierdza hipotezę, że prawdziwa populacja ma mniej niż 11 uncji?
Mamy test dolnej części ogona. Widać to w naszym oświadczeniu hipotezy zerowe i alternatywne:
- H.0: μ=11.
- H.za: μ < 11.
Statystyka testowa jest obliczana według wzoru
z = (x-bar - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Musimy teraz określić prawdopodobieństwo tej wartości z wynika tylko z przypadku. Korzystając z tabeli z- wyniki widzimy, że prawdopodobieństwo, że z jest mniejsza lub równa -2,5 to 0,0062. Ponieważ ta wartość p jest mniejsza niż poziom istotności, odrzucamy hipotezę zerową i akceptujemy hipotezę alternatywną. Średnia waga wszystkich worków z wiórami jest mniejsza niż 11 uncji.
pytanie 2
Jakie jest prawdopodobieństwo błędu typu I?
Błąd typu I występuje, gdy odrzucamy prawdziwą hipotezę zerową. Prawdopodobieństwo takiego błędu jest równe poziomowi istotności. W tym przypadku mamy poziom istotności równy 0,01, więc jest to prawdopodobieństwo błędu typu I.
pytanie 3
Jeśli średnia populacji wynosi w rzeczywistości 10,75 uncji, jakie jest prawdopodobieństwo błędu typu II?
Zaczynamy od przeformułowania naszej reguły decyzyjnej pod względem średniej próby. Dla poziomu istotności 0,01 odrzucamy hipotezę zerową kiedy z < -2.33. Wstawiając tę wartość do formuły statystyki testowej, odrzucamy hipotezę zerową kiedy
(x-bar - 11) / (0,6 / √ 9)
Równolegle odrzucamy hipotezę zerową, gdy 11 - 2,33 (0,2)> x-bar lub kiedy x-bar jest mniejszy niż 10.534. Nie odrzucamy hipotezy zerowej dla x-bar większy lub równy 10.534. Jeśli prawdziwa średnia populacji wynosi 10,75, to prawdopodobieństwo, że x-bar jest większy lub równy 10.534, co odpowiada prawdopodobieństwu, że z jest większy lub równy -0,22. To prawdopodobieństwo, które jest prawdopodobieństwem błędu typu II, wynosi 0,587.