„Quasiconcave” to koncepcja matematyczna, która ma kilka zastosowań w ekonomii. Aby zrozumieć znaczenie zastosowań tego terminu w ekonomii, warto zacząć od krótkiej analizy pochodzenia i znaczenia tego terminu w matematyce.
Początki tego terminu
Termin „quasiconcave” został wprowadzony na początku XX wieku w dziełach Johna von Neumanna, Wernera Fenchela i Bruno de Finetti, wszystkich znanych matematycy zainteresowani matematyką teoretyczną i stosowaną, ich badania w takich dziedzinach, jak teoria prawdopodobieństwa, teoria gier i topologia ostatecznie położył podwaliny pod niezależną dziedzinę badań znaną jako „uogólniona wypukłość”. Chociaż termin „quasiconcave: ma zastosowanie w wielu obszarach, włącznie z Ekonomia, wywodzi się z dziedziny uogólnionej wypukłości jako koncepcji topologicznej.
Definicja topologii
Wayne State Mathematics Profesor Robert Bruner krótkie i czytelne wyjaśnienie topologii zaczyna się od zrozumienia, że topologia jest specjalną formą geometria. To, co odróżnia topologię od innych badań geometrycznych, to fakt, że topologia traktuje figury geometryczne jako takie zasadniczo („topologicznie”) ekwiwalent, jeśli wyginając je, przekręcając i w inny sposób zniekształcając, możesz zmienić jeden w inny.
Brzmi to trochę dziwnie, ale weź pod uwagę, że jeśli weźmiesz koło i zaczniesz zgniatać z czterech kierunków, ostrożne zgniatanie da ci kwadrat. Zatem kwadrat i okrąg są topologicznie równoważne. Podobnie, jeśli zginasz jedną stronę trójkąta, aż utworzysz gdzieś inny narożnik wzdłuż tego boku, z większym wyginaniem, pchaniem i ciągnięciem, możesz zmienić trójkąt w kwadrat. Ponownie trójkąt i kwadrat są topologicznie równoważne.
Quasiconcave jako własność topologiczna
Quasiconcave to właściwość topologiczna obejmująca wklęsłość. Jeśli narysujesz wykres funkcji matematycznej, a wykres będzie przypominał źle wykonaną misę z kilkoma nierównościami ale nadal ma zagłębienie w środku i dwa końce, które przechylają się w górę, co jest funkcją quasiconcave.
Okazuje się, że funkcja wklęsła jest tylko specyficznym przykładem funkcji quasiconcave - tej bez wypukłości. Z punktu widzenia laika (matematyk ma bardziej rygorystyczny sposób wyrażania tego), funkcja quasiconcave obejmuje wszystkie funkcje wklęsłe, a także wszystkie funkcje, które ogólnie są wklęsłe, ale które mogą mieć sekcje, które są w rzeczywistości wypukły. Ponownie wyobraź sobie źle wykonaną miskę z kilkoma wypukłościami i wypukłościami.
Zastosowania w ekonomii
Jednym ze sposobów matematycznego przedstawienia preferencji konsumentów (a także wielu innych zachowań) jest użycie funkcja użyteczności. Jeśli na przykład konsumenci wolą dobro A od dobra B, funkcja użyteczności U wyraża tę preferencję jako:
U (A)> U (B)
Jeśli wykreślisz tę funkcję dla rzeczywistego zestawu konsumentów i towarów, może się okazać, że wykres wygląda trochę jak miska - zamiast prostej, na środku jest ugięcie. Ten zwis zwykle reprezentuje niechęć konsumentów do ryzyka. Ponownie, w prawdziwym świecie ta awersja nie jest spójna: wykres preferencji konsumenta wygląda trochę jak niedoskonała misa, z kilkoma nierównościami. Zamiast być wklęsłym, jest ogólnie wklęsły, ale nie idealnie, w każdym punkcie wykresu, który może mieć niewielkie odcinki wypukłości.
Innymi słowy, nasz przykładowy wykres preferencji konsumentów (podobnie jak wiele przykładów w świecie rzeczywistym) jest quasiconcave. Mówią każdemu, kto chce dowiedzieć się więcej o zachowaniach konsumentów - na przykład ekonomiści i korporacje sprzedające towary konsumpcyjne - gdzie i jak klienci reagują na zmiany w dobrych kwotach lub kosztach.