Zrozumienie definicji różnicy symetrycznej

Ustaw teorię używa wielu różnych operacji do tworzenia nowych zestawów ze starych. Istnieje wiele sposobów wyboru niektórych elementów z danych zbiorów, z wyłączeniem innych. Wynikiem jest zazwyczaj zestaw, który różni się od oryginalnych. Ważne jest, aby mieć dobrze zdefiniowane sposoby konstruowania tych nowych zestawów, a ich przykłady obejmują unia, skrzyżowanie, i różnica dwóch zestawów. Operacja zestawu, która jest być może mniej znana, nazywa się różnicą symetryczną.

Aby zrozumieć definicję różnicy symetrycznej, musimy najpierw zrozumieć słowo „lub”. Chociaż małe słowo „lub” ma dwa różne zastosowania w języku angielskim. Może być wyłączny lub włączający (i został użyty wyłącznie w tym zdaniu). Jeśli powiedziano nam, że możemy wybierać spośród A lub B, a sens jest wyłączny, możemy mieć tylko jedną z dwóch opcji. Jeśli sens obejmuje, to możemy mieć A, możemy mieć B lub możemy mieć zarówno A, jak i B.

Zazwyczaj kontekst prowadzi nas, gdy napotykamy na słowo lub nawet nie musimy zastanawiać się, w jaki sposób jest ono używane. Jeśli zostaniemy zapytani, czy chcielibyśmy mieć śmietanę lub cukier

Słowo „lub” jest zatem używane w znaczeniu integracyjnym w definicji związku. Połączenie zbiorów A i B jest zbiorem elementów w A lub B (w tym tych elementów, które znajdują się w obu zestawach). Jednak warto mieć operację na zestawie, która konstruuje zbiór zawierający elementy w A lub B, gdzie „lub” jest używane w wyłącznym sensie. To właśnie nazywamy różnicą symetryczną. Symetryczną różnicą zbiorów A i B są te elementy w A lub B, ale nie w A i B. Podczas gdy notacja różni się dla różnicy symetrycznej, napiszemy to jako A ∆ B

Na przykład różnicy symetrycznej rozważymy zestawy ZA = {1,2,3,4,5} i b = {2,4,6}. Różnica symetryczna między tymi zbiorami wynosi {1,3,5,6}.

Do zdefiniowania różnicy symetrycznej można użyć innych operacji zestawu. Z powyższej definicji jasno wynika, że ​​możemy wyrazić różnicę symetryczną A i B jako różnicę połączenia A i B oraz przecięcia A i B. W symbolach piszemy: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Równoważne wyrażenie, wykorzystujące kilka różnych operacji ustawiania, pomaga wyjaśnić różnicę symetryczną nazwy. Zamiast używać powyższego sformułowania, możemy zapisać różnicę symetryczną w następujący sposób: (A - B) ∪ (B - A). Ponownie widzimy, że różnicą symetryczną jest zbiór elementów w A, ale nie w B lub w B, ale nie w A. Wyłączyliśmy zatem te elementy na przecięciu A i B. Można matematycznie udowodnić, że te dwie formuły są równoważne i odnoszą się do tego samego zestawu.

Nazwa symetryczna różnica sugeruje związek z różnicą dwóch zbiorów. Ta ustawiona różnica jest widoczna w obu powyższych wzorach. W każdym z nich obliczono różnicę dwóch zestawów. Tym, co odróżnia różnicę symetryczną od różnicy, jest jej symetria. Zasadniczo role A i B można zmienić. Nie dotyczy to różnicy między dwoma zestawami.

Aby podkreślić ten punkt, przy odrobinie pracy zobaczymy symetrię różnicy symetrycznej, ponieważ widzimy A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.