Prawdopodobieństwo małej prostej w Yahtzee w jednym rzucie

Yahtzee to gra w kości, która wykorzystuje pięć standardowych sześciościennych kości. W każdej turze gracze otrzymują trzy rzuca się, aby uzyskać kilka różnych celów. Po każdym rzucie gracz może zdecydować, która z kości (jeśli w ogóle) ma zostać zachowana, a która ma zostać przerzucona. Cele obejmują różnorodne kombinacje, z których wiele pochodzi z pokera. Każda inna kombinacja jest warta inną liczbę punktów.

Nazywa się dwa rodzaje kombinacji, które gracze muszą rzucić proste: mała prosta i duża prosta. Podobnie jak poker poker, kombinacje te składają się z sekwencyjnych kości. Małe proste stosują cztery z pięciu kości i duże proste użyj wszystkich pięciu kości. Ze względu na losowość rzutu kostką, prawdopodobieństwo można wykorzystać do analizy prawdopodobieństwa rzutu małą prostą w jednym rzucie.

Zakładamy, że użyte kości są uczciwe i niezależne od siebie. Tak więc istnieje jednolita przestrzeń próbki składająca się ze wszystkich możliwych rzutów pięciu kości. Mimo że Yahtzee

Ponieważ współpracujemy z mundurpróbka miejsca, obliczenie naszego prawdopodobieństwa staje się obliczeniem kilku problemów z liczeniem. Prawdopodobieństwo małej prostej to liczba sposobów na zwrócenie małej prostej, podzielona przez liczbę wyników w przestrzeni próbki.

Bardzo łatwo policzyć liczbę wyników w przestrzeni próbki. Rzucamy pięcioma kośćmi i każda z tych kości może mieć jeden z sześciu różnych wyników. Podstawowe zastosowanie zasady mnożenia mówi nam, że przestrzeń próbki ma 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 wyników. Ta liczba będzie mianownikiem ułamków, których używamy dla naszego prawdopodobieństwa.

Następnie musimy wiedzieć, ile jest sposobów na wyrzucenie małej prostej. Jest to trudniejsze niż obliczenie wielkości przestrzeni próbki. Zaczynamy od policzenia, ile prostych jest możliwych.

Mała prosta jest łatwiejsza do wyrzucenia niż duża prosta, jednak trudniej jest policzyć liczbę sposobów zrolowania tego rodzaju prostej. Mała prosta składa się z dokładnie czterech kolejnych liczb. Ponieważ kostka ma sześć różnych powierzchni, możliwe są trzy małe proste: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} i {3, 4, 5, 6}. Trudność polega na rozważeniu, co dzieje się z piątą kością. W każdym z tych przypadków piąta kość musi być liczbą, która nie tworzy dużej prostej. Na przykład, jeśli pierwsze cztery kości to 1, 2, 3 i 4, piąta kość może być inna niż 5. Gdyby piąta kostka miała 5, wtedy mielibyśmy dużą strita zamiast małej strita.

Oznacza to, że istnieje pięć możliwych rzutów, które dają małej strit {1, 2, 3, 4}, pięć możliwych rzuty, które dają małe proste {3, 4, 5, 6} i cztery możliwe rzuty, które dają małe proste {2, 3, 4, 5}. Ten ostatni przypadek jest inny, ponieważ rzucenie 1 lub 6 dla piątej kości zmieni {2, 3, 4, 5} w dużą strit. Oznacza to, że istnieje 14 różnych sposobów, dzięki którym pięć kości może dać nam małą strit.

Teraz określamy różną liczbę sposobów rzutu konkretnym zestawem kości, które dają nam strita. Ponieważ musimy tylko wiedzieć, na ile sposobów to zrobić, możemy zastosować podstawowe techniki liczenia.

Z 14 różnych sposobów na uzyskanie małych prostych, tylko dwa z tych {1,2,3,4,6} i {1,3,4,5,6} są zestawami z odrębnymi elementami. Jest 5! = 120 sposobów na rzucenie każdym w sumie 2 x 5! = 240 małych prostych.

Pozostałe 12 sposobów na uzyskanie małej prostej to technicznie wielosekty, ponieważ wszystkie zawierają powtarzający się element. W przypadku jednego konkretnego multisetu, takiego jak [1,1,2,3,4], policzymy liczbę różnych sposobów jego rzutowania. Pomyśl o kostkach jak o pięciu pozycjach z rzędu:

• Istnieje C (5,2) = 10 sposobów na umieszczenie dwóch powtarzających się elementów wśród pięciu kości.
• Są 3! = 6 sposobów na ułożenie trzech różnych elementów.

Zgodnie z zasadą mnożenia istnieje 6 x 10 = 60 różnych sposobów rzucania kostkami 1,1,2,3,4 w jednym rzucie.

Istnieje 60 sposobów na wyrzucenie jednej takiej małej prostej z tą konkretną piątą kością. Ponieważ istnieje 12 multisetów, które dają inną listę pięciu kości, istnieje 60 x 12 = 720 sposobów na wyrzucenie małej prostej, w której pasują dwie kości.

W sumie jest 2 x 5! + 12 x 60 = 960 sposobów na wyrzucenie małej prostej.

Teraz prawdopodobieństwo potoczenia małej prostej jest prostym obliczeniem podziału. Ponieważ istnieje 960 różnych sposobów na wyrzucenie małej prostej w jednym rzucie i jest 7776 rolek możliwe pięć kości, prawdopodobieństwo rzutu małą stritem wynosi 960/7776, co jest bliskie 1/8 i 12.3%.

Oczywiście bardziej prawdopodobne jest, że pierwszy rzut nie jest stritem. Jeśli tak jest, wówczas mamy dwa kolejne rzuty, co znacznie zwiększa prawdopodobieństwo małej prostej. Prawdopodobieństwo tego jest znacznie bardziej skomplikowane ze względu na wszystkie możliwe sytuacje, które należałoby rozważyć.