Jak obliczyć prawdopodobieństwo trik-traka

Backgammon to gra, w której wykorzystuje się dwie standardowe kości. Kostkami używanymi w tej grze są sześciościenne kostki, a twarze kości mają jeden, dwa, trzy, cztery, pięć lub sześć pestek. Podczas tury w backgammon gracz może przesuwać swoje pionki lub warcaby zgodnie z liczbami pokazanymi na kościach. Rzutowane liczby można podzielić na dwa warcaby lub można je zsumować i wykorzystać dla pojedynczego kontrolera. Na przykład, kiedy rzuca się 4 i 5, gracz ma dwie opcje: może przesunąć jeden pionek o cztery pola, a drugi o pięć pól, lub jeden pionek można przenieść w sumie o dziewięć pól.

Aby sformułować strategie w backgammon, warto znać podstawowe prawdopodobieństwa. Ponieważ gracz może użyć jednej lub dwóch kości do przesunięcia określonego kontrolera, wszelkie obliczenia prawdopodobieństw będą o tym pamiętać. Dla naszych prawdopodobieństw tryktraka odpowiemy na pytanie: „Kiedy rzucamy dwiema kostkami, jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby n jako suma dwóch kości lub przynajmniej na jednej z dwóch kości?

W przypadku jednej kości, która nie jest załadowana, każda strona może równie dobrze wylądować odkrytą. Jedna kość tworzy mundurpróbka miejsca. Istnieje w sumie sześć wyników, odpowiadających każdej z liczb całkowitych od 1 do 6. Zatem każda liczba ma prawdopodobieństwo wystąpienia 1/6.

Kiedy rzucamy dwiema kośćmi, każda z nich jest niezależna od drugiej. Jeśli będziemy śledzić kolejność, jaka liczba występuje na każdej z kości, to w sumie 6 x 6 = 36 równie prawdopodobnych wyników. Zatem 36 jest mianownikiem wszystkich naszych prawdopodobieństw, a każdy konkretny wynik dwóch kości ma prawdopodobieństwo 1/36.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch kości i uzyskania co najmniej jednej z liczb od 1 do 6 jest łatwe do obliczenia. Jeśli chcemy określić prawdopodobieństwo rzutu co najmniej jedną 2 z dwiema kostkami, musimy wiedzieć, ile spośród 36 możliwych wyników obejmuje co najmniej jedną 2. Sposoby tego są następujące:

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

Zatem istnieje 11 sposobów na wyrzucenie co najmniej jednej 2 za pomocą dwóch kości, a prawdopodobieństwo rzutu co najmniej jedną 2 za pomocą dwóch kości wynosi 11/36.

W poprzedniej dyskusji nie ma nic specjalnego w 2. Dla dowolnej liczby n od 1 do 6:

• Istnieje pięć sposobów, aby rzucić dokładnie jedną z tych liczb na pierwszej kości.
• Istnieje pięć sposobów, aby rzucić dokładnie jedną z tych liczb na drugiej kości.
• Jest jeden sposób, aby rzucić tą liczbą na obie kości.

Dlatego istnieje 11 sposobów na wyrzucenie co najmniej jednego n od 1 do 6 za pomocą dwóch kości. Prawdopodobieństwo takiego wystąpienia wynosi 11/36.

Dowolną liczbę od dwóch do 12 można uzyskać jako sumę dwóch kości. The prawdopodobieństwo dla dwóch kości są nieco trudniejsze do obliczenia. Ponieważ istnieją różne sposoby na osiągnięcie tych sum, nie tworzą one jednolitej przestrzeni próbki. Na przykład istnieją trzy sposoby na wyrzucenie sumy czterech: (1, 3), (2, 2), (3, 1), ale tylko dwa sposoby na wyrzucenie sumy 11: (5, 6), ( 6, 5).

Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy określonej liczby jest następujące:

• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy dwóch wynosi 1/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy trzech wynosi 2/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy czterech wynosi 3/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy pięciu wynosi 4/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy sześciu wynosi 5/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy siedmiu wynosi 6/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy ośmiu wynosi 5/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy dziewięciu wynosi 4/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy dziesięciu wynosi 3/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy jedenastej wynosi 2/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwunastej sumy wynosi 1/36.

Nareszcie mamy wszystko, czego potrzebujemy do obliczenia prawdopodobieństwa dla backgammona. Wyrzucanie co najmniej jednej z liczb to wzajemnie się wykluczające z rzutu tą liczbą jako sumą dwóch kości. W ten sposób możemy użyć reguła dodawania aby dodać prawdopodobieństwa razem do uzyskania dowolnej liczby od 2 do 6.

Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej 6 z dwóch kości wynosi 11/36. Rzucenie 6 jako suma dwóch kości to 5/36. Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej 6 lub wyrzucenia szóstki jako sumy dwóch kości wynosi 11/36 + 5/36 = 16/36. Inne prawdopodobieństwa można obliczyć w podobny sposób.