Z twierdzenia można wywnioskować kilka twierdzeń aksjomaty prawdopodobieństwa. Te twierdzenia można zastosować do obliczenia prawdopodobieństw, które chcielibyśmy poznać. Jednym z takich wyników jest reguła uzupełniania. To stwierdzenie pozwala nam obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia an zdarzenieZA znając prawdopodobieństwo uzupełnienia ZAdo. Po określeniu reguły dopełniania zobaczymy, jak można udowodnić ten wynik.
Reguła uzupełniająca
Uzupełnienie wydarzenia ZA jest oznaczony przez ZAdo. Uzupełnienie ZA jest zestaw wszystkich elementów w zestawie uniwersalnym, lub próbka miejsca S, które nie są elementami zestawu ZA.
Reguła dopełniania jest wyrażona następującym równaniem:
P (ZAdo) = 1 - P (ZA)
Widzimy tutaj, że prawdopodobieństwo zdarzenia i prawdopodobieństwo jego uzupełnienia musi wynosić 1.
Dowód reguły uzupełniającej
Aby udowodnić regułę komplementacji, zaczynamy od aksjomatów prawdopodobieństwa. Oświadczenia te przyjmuje się bez dowodu. Przekonamy się, że można je systematycznie wykorzystywać do udowodnienia naszego stwierdzenia dotyczącego prawdopodobieństwa dopełnienia zdarzenia.
- Pierwszym aksjomatem prawdopodobieństwa jest to, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne prawdziwy numer.
- Drugim aksjomatem prawdopodobieństwa jest prawdopodobieństwo całej przestrzeni próbki S. jest jeden. Symbolicznie piszemy P (S.) = 1.
- Trzeci aksjomat prawdopodobieństwa mówi, że If ZA i b wzajemnie się wykluczają (co oznacza, że mają puste skrzyżowanie), a następnie określamy prawdopodobieństwo związek tych wydarzeń jako P (ZA U b ) = P (ZA) + P (b).
W przypadku reguły uzupełniania nie będziemy musieli używać pierwszego aksjomatu z powyższej listy.
Aby udowodnić nasze oświadczenie, bierzemy pod uwagę wydarzenia ZAi ZAdo. Z teorii zbiorów wiemy, że te dwa zbiory mają puste przecięcie. Wynika to z faktu, że element nie może jednocześnie znajdować się w obu ZA i nie w ZA. Ponieważ istnieje puste skrzyżowanie, te dwa zestawy są wzajemnie się wykluczające.
Połączenie dwóch wydarzeń ZA i ZAdo są również ważne. Stanowią one wyczerpujące wydarzenia, co oznacza, że unia z tych zdarzeń jest cała przestrzeń próbki S..
Te fakty w połączeniu z aksjomatami dają nam równanie
1 = P (S.) = P (ZA U ZAdo) = P (ZA) + P (ZAdo) .
Pierwsza równość wynika z drugiego aksjomatu prawdopodobieństwa. Druga równość wynika z wydarzeń ZA i ZAdo są wyczerpujące. Trzecia równość wynika z trzeciego aksjomatu prawdopodobieństwa.
Powyższe równanie można zmienić w postać, którą wymieniliśmy powyżej. Wszystko, co musimy zrobić, to odjąć prawdopodobieństwo ZA z obu stron równania. A zatem
1 = P (ZA) + P (ZAdo)
staje się równaniem
P (ZAdo) = 1 - P (ZA).
Oczywiście możemy również wyrazić tę zasadę, stwierdzając, że:
P (ZA) = 1 - P (ZAdo).
Wszystkie trzy te równania są równoważnymi sposobami mówienia tego samego. Widzimy z tego dowodu, że tylko dwa aksjomaty i niektóre teorie mnogości mają długą drogę, aby pomóc nam udowodnić nowe stwierdzenia dotyczące prawdopodobieństwa.