Jak obliczyć kursy Powerball

Powerball jest wielostanowiskowy loteria jest to dość popularne ze względu na wielomilionowe jackpoty. Niektóre z tych jackpotów osiągają wartości znacznie przekraczające 100 milionów USD. Ciekawy jon poszukiwań od probabilistyczny Sens brzmi: „Jak się mają szansa obliczone na podstawie prawdopodobieństwa zwycięski Powerball?

Najpierw sprawdzimy zasady Powerball, ponieważ jest on obecnie skonfigurowany. Podczas każdego losowania dwa bębny pełne piłek są dokładnie mieszane i losowane. Pierwszy bęben zawiera białe kulki ponumerowane od 1 do 59. Pięć jest losowanych bez zamiany z tego bębna. Drugi bęben ma czerwone kulki ponumerowane od 1 do 35. Jeden z nich jest narysowany. Celem jest dopasowanie jak największej liczby tych liczb.

Pełny jackpot wygrywa się, gdy wszystkie sześć liczb wybranych przez gracza będzie idealnie pasować do wylosowanych piłek. Istnieją nagrody o mniejszych wartościach za częściowe dopasowanie, w sumie dziewięć różnych sposobów na wygraną pewnej kwoty w Powerball. Te sposoby wygranej to:

• Dopasowanie wszystkich pięciu białych i czerwonych piłek wygrywa główną nagrodę główną. Wartość tego zależy od tego, ile czasu minęło, odkąd ktoś wygrał tę główną nagrodę.
• Dopasowanie wszystkich pięciu białych piłek, ale nie czerwonej, wygrywa 1 000 000 $.
• Dokładne dopasowanie czterech z pięciu białych i czerwonych piłek wygrywa 10 000 $.
• Dopasowanie dokładnie czterech z pięciu białych piłek, ale nie czerwonej, wygrywa 100 $.
• Dopasowanie dokładnie trzech z pięciu białych i czerwonej piłki wygrywa 100 $.
• Dopasowanie dokładnie trzech z pięciu białych piłek, ale nie czerwonej, wygrywa 7 $.
• Dopasowanie dokładnie dwóch z pięciu białych i czerwonej piłki wygrywa 7 USD.
• Dopasowanie dokładnie jednej z pięciu białych i czerwonych piłek wygrywa 4 $.
• Dopasowanie tylko czerwonej piłki, ale żadna z białych piłek nie wygrywa 4 $.

Przyjrzymy się, jak obliczyć każde z tych prawdopodobieństw. Podczas tych obliczeń należy zauważyć, że kolejność wychodzenia kulek z bębna nie jest ważna. Jedyne, co się liczy, to zestaw losowanych piłek. Z tego powodu nasze obliczenia obejmują kombinacje, a nie permutacje.

Przydatne w każdym poniższym obliczeniu jest także całkowita liczba kombinacji, które można narysować. Mamy pięć wybranych z 59 białych kulek, lub używając notacji dla kombinacji, C (59, 5) = 5006386 sposobów, aby to nastąpiło. Jest 35 sposobów na wybranie czerwonej kuli, co daje 35 x 5 006 386 = 175 223 510 możliwych wyborów.

Chociaż jackpot dopasowania wszystkich sześciu piłek jest najtrudniejszy do zdobycia, jest to najłatwiejsze do obliczenia prawdopodobieństwo. Spośród wielu 175 225 510 możliwych wyborów istnieje tylko jeden sposób na wygraną. Tak więc prawdopodobieństwo wygranej w danym losowaniu wynosi 1/175,223,510.

Aby wygrać 1 000 000 $, musimy dopasować pięć białych piłek, ale nie czerwoną. Istnieje tylko jeden sposób dopasowania wszystkich pięciu. Istnieją 34 sposoby, aby nie dopasować czerwonej piłki. Prawdopodobieństwo wygrania 1 000 000 $ wynosi 34/175 223 510, czyli około 1/5 153 633.

Aby otrzymać nagrodę w wysokości 10 000 $, musimy dopasować cztery z pięciu białych piłek i czerwoną. Istnieje C (5,4) = 5 sposobów na dopasowanie czterech z pięciu. Piąta piłka musi być jedną z pozostałych 54, które nie zostały wylosowane, więc istnieją C (54, 1) = 54 sposoby, aby tak się stało. Jest tylko jeden sposób, aby dopasować czerwoną piłkę. Oznacza to, że istnieje 5 x 54 x 1 = 270 sposobów dopasowania dokładnie czterech białych piłek i czerwonej, co daje prawdopodobieństwo 270/175,223,510 lub około 1 / 648,976.

Jednym ze sposobów wygrania nagrody w wysokości 100 $ jest dopasowanie czterech z pięciu białych piłek, a nie czerwonej. Podobnie jak w poprzednim przypadku, istnieje C (5,4) = 5 sposobów dopasowania czterech z pięciu. Piąta piłka musi być jedną z pozostałych 54, które nie zostały wylosowane, więc istnieją C (54, 1) = 54 sposoby, aby tak się stało. Tym razem istnieją 34 sposoby, aby nie dopasować czerwonej piłki. Oznacza to, że istnieje 5 x 54 x 34 = 9180 sposobów na dopasowanie dokładnie czterech białych piłek, ale nie czerwonej, co daje prawdopodobieństwo 9180/175,223,510 lub około 1/19 088.

Innym sposobem na wygraną w wysokości 100 $ jest dopasowanie dokładnie trzech z pięciu białych kulek, a także dopasowanie do czerwonej. Istnieje C (5,3) = 10 sposobów dopasowania trzech z pięciu. Pozostałe białe kulki muszą być jedną z pozostałych 54, które nie zostały wylosowane, więc istnieją C (54, 2) = 1431 sposobów, aby tak się stało. Jest jeden sposób, aby dopasować czerwoną piłkę. Oznacza to, że istnieje 10 x 1431 x 1 = 14 310 sposobów na dopasowanie dokładnie trzech białych i czerwonych piłek, co daje prawdopodobieństwo 14 310/175 223,510 lub około 1/12 245.

Jednym ze sposobów wygrania nagrody w wysokości 7 $ jest dopasowanie dokładnie trzech z pięciu białych kulek, a nie dopasowanie do czerwonej. Istnieje C (5,3) = 10 sposobów dopasowania trzech z pięciu. Pozostałe białe kulki muszą być jedną z pozostałych 54, które nie zostały wylosowane, więc istnieją C (54, 2) = 1431 sposobów, aby tak się stało. Tym razem istnieją 34 sposoby, aby nie dopasować czerwonej piłki. Oznacza to, że istnieje 10 x 1431 x 34 = 486,540 sposobów dopasowania dokładnie trzech białych piłek, ale nie czerwonej, co daje prawdopodobieństwo 486,540 / 175, 223,510 lub około 1/360.

Innym sposobem na wygraną w wysokości 7 $ jest dopasowanie dokładnie dwóch z pięciu białych kulek, a także dopasowanie do czerwonej. Istnieje C (5,2) = 10 sposobów dopasowania dwóch z pięciu. Pozostałe białe kulki muszą być jedną z pozostałych 54, które nie zostały wylosowane, więc istnieją C (54, 3) = 24 804 sposobów, aby tak się stało. Jest jeden sposób, aby dopasować czerwoną piłkę. Oznacza to, że istnieje 10 x 24 804 x 1 = 248,040 sposobów, aby dopasować dokładnie dwie białe kule i jedną czerwoną, co daje prawdopodobieństwo 248,040 / 175, 223 510 lub około 1/706.

Jednym ze sposobów wygrania nagrody w wysokości 4 $ jest dopasowanie dokładnie jednej z pięciu białych kulek, a także dopasowanie do czerwonej. Istnieje C (5,4) = 5 sposobów dopasowania jednego z pięciu. Pozostałe białe kulki muszą być jedną z pozostałych 54, które nie zostały wylosowane, a więc istnieją C (54, 4) = 316,251 sposobów, aby tak się stało. Jest jeden sposób, aby dopasować czerwoną piłkę. Oznacza to, że istnieje 5 x 316,251 x1 = 1 581 255 sposobów, aby dopasować dokładnie jedną białą piłkę i czerwoną, co daje prawdopodobieństwo 1581 255/175 223,510, czyli około 1/111.

Innym sposobem na wygraną w wysokości 4 $ jest dopasowanie żadnej z pięciu białych piłek, ale dopasowanie czerwonej. Istnieją 54 kulki, które nie należą do żadnej z pięciu wybranych, a mamy C (54, 5) = 3 162 510 sposobów, aby tak się stało. Jest jeden sposób, aby dopasować czerwoną piłkę. Oznacza to, że istnieje 3.162.510 sposobów dopasowania żadnej z kul oprócz czerwonej, co daje prawdopodobieństwo 3.152.510 / 175.225.510 lub około 1/55.

Ta sprawa jest nieco sprzeczna z intuicją. Jest 36 czerwonych kul, więc możemy pomyśleć, że prawdopodobieństwo dopasowania jednej z nich wyniesie 1/36. Pomija to jednak inne warunki narzucone przez białe kule. Wiele kombinacji z prawidłową czerwoną piłką obejmuje również mecze na niektórych białych piłkach.