Zrozumienie równoważnych równań w algebrze

Równania równoważne to układy równań, które mają takie same rozwiązania. Rozpoznawanie i rozwiązywanie równoważnych równań jest cenną umiejętnością, nie tylko w klasa algebry ale także w życiu codziennym. Spójrz na przykłady równoważnych równań, jak je rozwiązać dla jednej lub więcej zmiennych i jak możesz użyć tej umiejętności poza klasą.

Kluczowe dania na wynos

Najprostsze przykłady równań równoważnych nie mają żadnych zmiennych. Na przykład te trzy równania są sobie równe:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Uznanie tych równań za równoważne jest świetne, ale niezbyt przydatne. Zwykle problem równania równoważnego wymaga rozwiązania zmiennej, aby sprawdzić, czy jest taka sama (ta sama korzeń) jako równanie jeden w drugim.

Na przykład następujące równania są równoważne:

• x = 5
• -2x = -10

W obu przypadkach x = 5. Skąd to wiemy? Jak rozwiązać ten problem dla równania „-2x = -10”? Pierwszym krokiem jest poznanie reguł równań równoważnych:

• Dodawanie lub odjęcie tej samej liczby lub wyrażenia po obu stronach równania daje równanie równoważne.
• Pomnożenie lub podzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę niezerową daje równanie równoważne.
• Podnosząc obie strony równania do ta sama dziwna moc lub przyjęcie tego samego nieparzystego pierwiastka da równanie równoważne.
• Jeśli obie strony równania nie sąnegatywny, podniesienie obu stron równania do tej samej parzystej mocy lub przyjęcie tego samego parzystego pierwiastka da równanie równoważne.

Stosując te zasady w praktyce, określ, czy te dwa równania są równoważne:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Aby rozwiązać ten problem, musisz znaleźć „x” dla każdego równanie. Jeśli „x” jest takie samo dla obu równań, to są one równoważne. Jeśli „x” jest różne (tzn. Równania mają różne pierwiastki), równania nie są równoważne. Dla pierwszego równania:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (odejmując obie strony tą samą liczbą)
• x = 5

Dla drugiego równania:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (odejmując obie strony tą samą liczbą)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dzieląc obie strony równania przez tę samą liczbę)
• x = 5

Tak, więc dwa równania są równoważne, ponieważ x = 5 w każdym przypadku.

Możesz używać równoważnych równań w życiu codziennym. Jest to szczególnie pomocne podczas zakupów. Na przykład lubisz określoną koszulę. Jedna firma oferuje koszulę za 6 USD i kosztuje 12 USD, a inna firma za 7,50 USD i 9 USD. Która koszula ma najlepszą cenę? Ile koszulek (być może chcesz je zdobyć dla przyjaciół) musiałbyś kupić, aby cena była taka sama dla obu firm?

Aby rozwiązać ten problem, niech „x” będzie liczbą koszul. Na początek ustaw x = 1 na zakup jednej koszuli. Dla firmy nr 1:

• Cena = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 USD

Dla firmy nr 2:

• Cena = 7,5 x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Tak więc, jeśli kupujesz jedną koszulę, druga firma oferuje lepszą ofertę.

Aby znaleźć punkt, w którym ceny są równe, niech „x” pozostanie liczbą koszul, ale ustaw dwa równania równe sobie. Rozwiąż „x”, aby dowiedzieć się, ile koszul trzeba kupić:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9-12 (odejmowanie te same liczby lub wyrażenia z każdej strony)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (dzieląc obie strony tą samą liczbą, -1)
• x = 3 / 1,5 (dzielenie obu stron przez 1,5)
• x = 2

Jeśli kupisz dwie koszulki, cena jest taka sama, bez względu na to, skąd ją masz. Możesz użyć tej samej matematyki, aby ustalić, która firma daje lepszą ofertę przy większych zamówieniach, a także obliczyć, ile zaoszczędzisz, używając jednej firmy nad drugą. Zobacz, algebra jest przydatna!

Jeśli masz dwa równania i dwie niewiadome (xiy), możesz ustalić, czy dwa zestawy równań liniowych są równoważne.

Na przykład, jeśli podano równania:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Możesz ustalić, czy następujący system jest równoważny:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Do Rozwiąż ten problem, znajdź „x” i „y” dla każdego układu równań. Jeśli wartości są takie same, to układy równań są równoważne.

Zacznij od pierwszego zestawu. Aby rozwiązać dwa równania z dwoma zmienne, wyizoluj jedną zmienną i podłącz jej rozwiązanie do drugiego równania. Aby wyizolować zmienną „y”:

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15-12 lat
• x = - (15-12 lat) / 3 = -5 + 4 lat (podłącz „x” w drugim równaniu)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10 lat = -2
• -35 + 28 lat - 10 lat = -2
• 18 lat = 33
• y = 33/18 = 11/6

Teraz podłącz „y” z powrotem do dowolnego równania, aby rozwiązać „x”:

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Pracując nad tym, ostatecznie uzyskasz x = 7/3.

Aby odpowiedzieć na pytanie, ty mógłby zastosuj te same zasady do drugiego zestawu równań, aby rozwiązać „x” i „y”, aby stwierdzić, że tak, są one rzeczywiście równoważne. Łatwo jest ugrzęznąć w algebrze, więc dobrym pomysłem jest sprawdzenie swojej pracy za pomocą rozwiązywanie równań online.

Jednak sprytny uczeń zauważy, że dwa zestawy równań są równoważne bez wykonywania jakichkolwiek trudnych obliczeń. Jedyną różnicą między pierwszym równaniem w każdym zbiorze jest to, że pierwszy jest trzy razy drugi (równoważny). Drugie równanie jest dokładnie takie samo.