Jak znaleźć wartość początkową funkcji wykładniczej

Funkcje wykładnicze opowiadają o wybuchowych zmianach. Dwa typy funkcji wykładniczych to wykładniczy wzrost i rozkład wykładniczy. Cztery zmienne - zmiana procentowa, czas, kwota na początku okresu i kwota na końcu okresu - odgrywają rolę w funkcjach wykładniczych. W tym artykule skupiono się na tym, jak znaleźć kwotę na początku okresu, za.

Wzrost wykładniczy: zmiana, która występuje, gdy pierwotna kwota jest zwiększana o stałą stawkę przez pewien okres czasu

Gwałtowny wzrost w prawdziwym życiu:

• Wartości cen mieszkań
• Wartości inwestycji
• Zwiększone członkostwo popularnego serwisu społecznościowego

Oto wykładnicza funkcja wzrostu:

y = za(1 + b)^x

• y: Ostateczna kwota pozostała przez pewien czas
• za: Oryginalna kwota
• x: Czas
• The czynnik wzrostu to (1 + b).
• Zmienna b, to procentowa zmiana w postaci dziesiętnej.

Rozkład wykładniczy: zmiana, która występuje, gdy pierwotna kwota jest zmniejszana o stałą stawkę przez pewien okres czasu

Rozkład wykładniczy w prawdziwym życiu:

• Spadek czytelnictwa w gazetach
• Spadek liczby uderzeń w USA
• Liczba osób pozostających w mieście dotkniętym huraganem

Oto wykładnicza funkcja rozpadu:

y = za(1-b)^x

• y: Ostateczna kwota pozostała po rozpadzie w danym okresie
• za: Oryginalna kwota
• x: Czas
• The czynnik rozpadu jest (1-b).
• Zmienna b, to procentowe zmniejszenie w postaci dziesiętnej.

Za sześć lat być może chcesz kontynuować studia licencjackie na Dream University. Przy cenie 120 000 $ Dream University wywołuje nocne lęki finansowe. Po nieprzespanych nocach ty, mama i tata spotykacie się z planistą finansowym. Przekrwione oczy twoich rodziców rozjaśniają się, gdy planista ujawnia inwestycję z 8% stopą wzrostu, która może pomóc twojej rodzinie osiągnąć cel 120 000 $. Ucz się ciężko. Jeśli ty i twoi rodzice zainwestujecie dzisiaj 75 620,36 $, Dream University stanie się waszą rzeczywistością.

Ta funkcja opisuje wykładniczy wzrost inwestycji:

120,000 = za(1 +.08)⁶

• 120 000: Ostateczna kwota pozostała po 6 latach
• .08: Roczna stopa wzrostu
• 6: Liczba lat wzrostu inwestycji
• za: Początkowa kwota, którą zainwestowała Twoja rodzina

Wskazówka: Dzięki symetrycznej właściwości równości 120 000 = za(1 +.08)⁶ jest taki sam jak za(1 +.08)⁶ = 120,000. (Symetryczna właściwość równości: jeśli 10 + 5 = 15, to 15 = 10 +5.)

Jeśli wolisz przepisać równanie ze stałą 120 000 po prawej stronie równania, zrób to.

za(1 +.08)⁶ = 120,000

To prawda, że ​​równanie nie wygląda jak równanie liniowe (6za = 120 000 USD), ale jest do rozwiązania. Zostać przy tym!

za(1 +.08)⁶ = 120,000

Uważaj: nie rozwiązuj tego równania wykładniczego, dzieląc 120 000 przez 6. To kusząca matematyka nie-nie.

1. Posługiwać się Kolejność operacji ułatwiać.

za(1 +.08)⁶ = 120,000

za(1.08)⁶ = 120 000 (nawias)

za(1.586874323) = 120 000 (wykładnik)

2. Rozwiąż, dzieląc

za(1.586874323) = 120,000

za(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1za = 75,620.35523

za = 75,620.35523

Oryginalna kwota lub kwota, którą Twoja rodzina powinna zainwestować, wynosi około 75 620,36 USD.

3. Zatrzymaj się - jeszcze nie skończyłeś. Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.

120,000 = za(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Nawias)

120 000 = 75 620 355523 (1,586874323) (wykładnik)

120 000 = 120 000 (mnożenie)

Oto przykłady rozwiązania pierwotnej kwoty, biorąc pod uwagę funkcję wykładniczą:

1. 84 = za(1+.31)⁷
   Aby uprościć, użyj kolejności operacji.
   84 = za(1.31)⁷ (Nawias)
   84 = za(6.620626219) (wykładnik)
   Podziel się, aby rozwiązać.
   84/6.620626219 = za(6.620626219)/6.620626219
   12.68762157 = 1za
   12.68762157 = za
   Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
   84 = 12.68762157(1.31)⁷ (Nawias)
   84 = 12,68762157 (6,620626219) (wykładnik)
   84 = 84 (mnożenie)
2. za(1 -.65)³ = 56
   Aby uprościć, użyj kolejności operacji.
   za(.35)³ = 56 (nawias)
   za(.042875) = 56 (wykładnik)
   Podziel się, aby rozwiązać.
   za(.042875)/.042875 = 56/.042875
   za = 1,306.122449
   Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
   za(1 -.65)³ = 56
   1,306.122449(.35)³ = 56 (nawias)
   1 306,122449 (.042875) = 56 (wykładnik)
   56 = 56 (pomnóż)
3. za(1 + .10)⁵ = 100,000
   Aby uprościć, użyj kolejności operacji.
   za(1.10)⁵ = 100 000 (nawias)
   za(1.61051) = 100 000 (wykładnik)
   Podziel się, aby rozwiązać.
   za(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
   za = 62,092.13231
   Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
   62,092.13231(1 + .10)⁵ = 100,000
   62,092.13231(1.10)⁵ = 100 000 (nawias)
   62 092,1331 (1,61051) = 100 000 (wykładnik)
   100 000 = 100 000 (pomnóż)
4. 8,200 = za(1.20)¹⁵
   Aby uprościć, użyj kolejności operacji.
   8,200 = za(1.20)¹⁵ (Wykładnik potęgowy)
   8,200 = za(15.40702157)
   Podziel się, aby rozwiązać.
   8,200/15.40702157 = za(15.40702157)/15.40702157
   532.2248665 = 1za
   532.2248665 = za
   Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
   8,200 = 532.2248665(1.20)¹⁵
   8200 = 532.2248665 (15.40702157) (wykładnik)
   8200 = 8200 (Cóż, 8 1999,9999... Trochę błędu zaokrąglania.) (Mnożenie.)
5. za(1 -.33)² = 1,000
   Aby uprościć, użyj kolejności operacji.
   za(.67)² = 1000 (nawias)
   za(.4489) = 1000 (wykładnik)
   Podziel się, aby rozwiązać.
   za(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
   1za = 2,227.667632
   za = 2,227.667632
   Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
   2,227.667632(1 -.33)² = 1,000
   2,227.667632(.67)² = 1000 (nawias)
   2 227,667632 (.4489) = 1000 (wykładnik)
   1000 = 1000 (pomnóż)
6. za(.25)⁴ = 750
   Aby uprościć, użyj kolejności operacji.
   za(.00390625) = 750 (wykładnik)
   Podziel się, aby rozwiązać.
   za(.00390625)/00390625= 750/.00390625
   1a = 192 000
   a = 192 000
   Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
   192,000(.25)⁴ = 750
   192,000(.00390625) = 750
   750 = 750