Funkcja generowania momentu dla rozkładu dwumianowego

Średnia i wariancja zmiennej losowej X z dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa może być trudne do obliczenia bezpośrednio. Chociaż może być jasne, co należy zrobić przy użyciu definicji wartość oczekiwana z X i X², faktyczne wykonanie tych kroków jest trudnym połączeniem algebry i sumowań. Alternatywny sposób ustalenia średniej i wariancji a rozkład dwumianowy jest użyć funkcja generowania momentu dla X.

Zacznij od zmiennej losowej X i opisz rozkład prawdopodobieństwa dokładniej. Wykonać n niezależne próby Bernoulliego, z których każda ma prawdopodobieństwo powodzenia p i prawdopodobieństwo awarii 1 - p. Zatem funkcja masy prawdopodobieństwa wynosi

fa (x) = do(n, x)p^x(1 – p)^{n - x}

Oto termin do(n, x) oznacza liczbę kombinacji n elementy wzięte x na raz i x może przyjmować wartości 0, 1, 2, 3,. .., n.

Użyj tej funkcji masy prawdopodobieństwa, aby uzyskać funkcję generowania momentu X:

M.(t) = Σ_{x = 0}ⁿmi^txdo(n,x)>)p^x(1 – p)^{n - x}.

Staje się jasne, że możesz łączyć warunki z wykładnikiem x:

M.(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xdo(n,x)>)(1 – p)^{n - x}.

Ponadto, stosując wzór dwumianowy, powyższe wyrażenie jest po prostu:

M.(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

Aby znaleźć oznaczać i wariancji, musisz znać oba M.(0) i M.’’(0). Zacznij od obliczenia swoich instrumentów pochodnych, a następnie oceń każdy z nich na t = 0.

Zobaczysz, że pierwszą pochodną funkcji generowania momentu jest:

M.’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Na tej podstawie możesz obliczyć średnią rozkładu prawdopodobieństwa. M.(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Jest to zgodne z wyrażeniem uzyskanym bezpośrednio z definicji średniej.

Obliczanie wariancji odbywa się w podobny sposób. Najpierw ponownie różnicuj funkcję generowania momentu, a następnie oceniamy tę pochodną w t = 0. Tutaj to zobaczysz

M.’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Aby obliczyć wariancję tej zmiennej losowej, musisz ją znaleźć M.’’(t). Tutaj masz M.’’(0) = n(n - 1)p² +np. Wariancja σ² twojej dystrybucji jest

σ² = M.’’(0) – [M.’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Chociaż ta metoda jest nieco zaangażowana, nie jest tak skomplikowana, jak obliczanie średniej i wariancji bezpośrednio z funkcji masy prawdopodobieństwa.