Stopnie swobody dla niezależności w tabeli dwustronnej

Liczba stopnie swobody dla niezależności dwóch zmiennych jakościowych podano prostą formułę: (r - 1)(do - 1). Tutaj r to liczba wierszy i do to liczba kolumn w stół dwukierunkowy wartości zmiennej jakościowej. Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej na ten temat i zrozumieć, dlaczego ta formuła podaje prawidłową liczbę.

Jeden krok w procesie wielu testy hipotez określa liczbę stopni swobody. Ta liczba jest ważna, ponieważ dla rozkłady prawdopodobieństwa które obejmują rodzinę rozkładów, takich jak rozkład chi-kwadrat, liczba stopni wolność wskazuje dokładny rozkład z rodziny, którego powinniśmy używać w naszej hipotezie test.

Stopnie swobody reprezentują liczbę wolnych wyborów, których możemy dokonać w danej sytuacji. Jednym z testów hipotez, który wymaga od nas określenia stopni swobody, jest chi-kwadrat test niezależności dla dwóch zmiennych kategorialnych.

Test chi-kwadrat dla niezależności wymaga od nas zbudowania tabeli dwukierunkowej, znanej również jako tabela awaryjna. Ten typ tabeli ma

Test chi-kwadrat dla niezależności pozwala nam przetestować hipotezę, że kategoryczny zmienne są od siebie niezależne. Jak wspomniano powyżej, r wiersze i do kolumny w tabeli dają nam (r - 1)(do - 1) stopnie swobody. Ale może nie być od razu jasne, dlaczego jest to poprawna liczba stopni swobody.

Aby zobaczyć, dlaczego (r - 1)(do - 1) jest poprawną liczbą, zbadamy tę sytuację bardziej szczegółowo. Załóżmy, że znamy wartości krańcowe dla każdego z poziomów naszych zmiennych kategorialnych. Innymi słowy, znamy sumę dla każdego wiersza i sumę dla każdej kolumny. W pierwszym rzędzie są do kolumny w naszej tabeli, więc są do komórki. Gdy znamy wartości wszystkich komórek oprócz jednej, to ponieważ znamy sumę wszystkich komórek, ustalenie wartości pozostałej komórki jest prostym problemem algebry. Gdybyśmy wypełniali te komórki naszego stołu, moglibyśmy wejść do - 1 z nich swobodnie, ale wtedy pozostała komórka jest określona przez sumę wiersza. Tak więc są do - 1 stopień swobody dla pierwszego rzędu.

Kontynuujemy w ten sposób do następnego wiersza, i są znowu do - 1 stopień swobody. Proces ten trwa, dopóki nie dojdziemy do przedostatniego rzędu. Każdy z wierszy z wyjątkiem ostatniego przyczynia się do - 1 stopień swobody do całości. Do czasu, gdy mamy wszystko oprócz ostatniego wiersza, dlatego znając sumę kolumny, możemy ustalić wszystkie wpisy ostatniego wiersza. To nam daje r - 1 rzędy z do - 1 stopień swobody w każdym z nich, w sumie (r - 1)(do - 1) stopnie swobody.

Widzimy to w następującym przykładzie. Załóżmy, że mamy tabelę dwukierunkową z dwiema zmiennymi kategorialnymi. Jedna zmienna ma trzy poziomy, a druga dwa. Ponadto załóżmy, że znamy sumy wierszy i kolumn dla tej tabeli:

Wzór przewiduje, że istnieją (3-1) (2-1) = 2 stopnie swobody. Widzimy to w następujący sposób. Załóżmy, że wypełniamy lewą górną komórkę liczbą 80. To automatycznie określi cały pierwszy wiersz wpisów:

Teraz, jeśli wiemy, że pierwszy wpis w drugim wierszu ma wartość 50, wówczas reszta tabeli jest wypełniona, ponieważ znamy sumę każdego wiersza i kolumny:

Tabela jest całkowicie wypełniona, ale mieliśmy tylko dwa wolne wybory. Gdy te wartości były znane, reszta tabeli została całkowicie określona.

Chociaż zazwyczaj nie musimy wiedzieć, dlaczego jest tak wiele stopni swobody, dobrze jest wiedzieć, że tak naprawdę po prostu stosujemy pojęcie stopni swobody w nowej sytuacji.