Prawdopodobieństwa i kości kłamców

Wiele gier losowych można analizować za pomocą matematyki prawdopodobieństwa. W tym artykule przyjrzymy się różnym aspektom gry o nazwie Kostki Kłamcy. Po opisaniu tej gry obliczymy prawdopodobieństwa z nią związane.

Gra Liar's Dice jest właściwie rodziną gier polegających na blefowaniu i oszukiwaniu. Istnieje wiele wariantów tej gry, która nosi kilka różnych nazw, takich jak Kości Piratów, Oszustwo i Dudo. Wersja tej gry została opisana w filmie Piraci z Karaibów: Skrzynia umarlaka.

W wersji gry, którą zbadamy, każdy gracz ma puchar i zestaw tej samej liczby kości. Kostki są standardowymi, sześciościennymi kostkami, które są ponumerowane od jednego do sześciu. Wszyscy rzucają kostkami, utrzymując je przykryte przez puchar. W odpowiednim momencie gracz patrzy na swój zestaw kości, ukrywając je przed wszystkimi innymi. Gra została zaprojektowana w taki sposób, że każdy gracz ma doskonałą wiedzę na temat własnego zestawu kości, ale nie ma wiedzy na temat innych rzuconych kości.

Po tym, jak wszyscy mieli okazję spojrzeć na swoje rzuty, rozpoczyna się licytacja. W każdej turze gracz ma dwie możliwości: postawić wyższą stawkę lub nazwać poprzednią licytację kłamstwem. Licytacje można podnieść, licytując wyższą wartość kości od jednego do sześciu lub licytując większą liczbę takich samych wartości kości.

Na przykład stawkę „Trzy dwójki” można zwiększyć, określając „Cztery dwójki”. Można to również zwiększyć mówiąc „trzy trójki”. Zasadniczo ani liczba kości, ani wartości kości nie mogą się zmniejszyć.

Ponieważ większość kości jest niewidoczna, ważne jest, aby wiedzieć, jak obliczyć niektóre prawdopodobieństwa. Wiedząc o tym, łatwiej jest zobaczyć, które oferty mogą być prawdziwe, a które kłamstwa.

Pierwszą kwestią jest pytanie: „Ile kostek tego samego rodzaju byśmy się spodziewali?” Na przykład, jeśli rzucimy pięcioma kostkami, ile z nich spodziewalibyśmy się jako dwie? Odpowiedź na to pytanie opiera się na idei wartość oczekiwana.

Oczekiwana wartość zmiennej losowej to prawdopodobieństwo określonej wartości pomnożone przez tę wartość.

Prawdopodobieństwo, że pierwsza kostka to dwa, wynosi 1/6. Ponieważ kości są od siebie niezależne, prawdopodobieństwo, że jedna z nich jest równa dwa, wynosi 1/6. Oznacza to, że oczekiwana liczba wyrzuconych dwójek wynosi 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Oczywiście nie ma nic specjalnego w wyniku dwóch. Nie ma też nic specjalnego w liczbie kostek, które rozważaliśmy. Jeśli potoczymy n kostki, to spodziewana liczba dowolnych z sześciu możliwych wyników to n/6. Tę liczbę warto znać, ponieważ daje nam ona podstawę do wykorzystania przy kwestionowaniu ofert złożonych przez innych.

Na przykład, jeśli gramy kostkami kłamcy sześcioma kostkami, oczekiwana wartość dowolnej z wartości od 1 do 6 wynosi 6/6 = 1. Oznacza to, że powinniśmy być sceptyczni, jeśli ktoś licytuje więcej niż jedną wartość. W dłuższej perspektywie uśrednilibyśmy jedną z każdej z możliwych wartości.

Załóżmy, że rzucamy pięcioma kostkami i chcemy znaleźć prawdopodobieństwo rzutu dwiema trójkami. Prawdopodobieństwo, że kostka to trzy, wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo, że kostka nie jest trzy, wynosi 5/6. Rzuty tych kości są niezależnymi zdarzeniami, dlatego mnożymy prawdopodobieństwa razem, używając reguła mnożenia.

Prawdopodobieństwo, że pierwsze dwie kostki są trójkami, a pozostałe kostki nie są trójkami, wynika z następującego produktu:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Pierwsze dwie kostki są trójkami, to tylko jedna możliwość. Kostki, które są trójkami, mogą być dowolnymi dwoma z pięciu kostek, które rzucamy. Oznaczamy kość, która nie jest trójką za *. Oto możliwe sposoby uzyskania dwóch trzech z pięciu rzutów:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Widzimy, że istnieje dziesięć sposobów na wyrzucenie dokładnie dwóch trójek z pięciu kości.

Teraz pomnożymy nasze prawdopodobieństwo powyżej przez 10 sposobów, w jakie możemy mieć taką konfigurację kości. Wynik to 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. To około 16%.

Uogólniamy teraz powyższy przykład. Rozważamy prawdopodobieństwo toczenia n kości i uzyskanie dokładnie k które mają pewną wartość.

Tak jak poprzednio, prawdopodobieństwo wyrzucenia pożądanej liczby wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo, że ta liczba nie zostanie zmieniona, podano przez reguła uzupełniająca jako 5/6. Chcemy k naszych kości, które będą wybraną liczbą. To znaczy że n - k to liczba inna niż ta, której chcemy. Prawdopodobieństwo pierwszego k kości są pewną liczbą z innymi kostkami, nie ta liczba to:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Wymienienie wszystkich możliwych sposobów rzutu określoną konfiguracją kości byłoby nudne, nie mówiąc już o czasochłonnym. Dlatego lepiej jest stosować nasze zasady liczenia. Dzięki tym strategiom widzimy, że liczymy kombinacje.

Istnieje C (n, k) sposoby na przewijanie k pewnego rodzaju kości z n kostka do gry. Liczba ta jest podana wzorem n!/(k!(n - k)!)

Składając wszystko w całość, widzimy to, kiedy się toczy n kostki, prawdopodobieństwo, że dokładnie k z nich jest określona liczba podana wzorem:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Istnieje inny sposób rozważenia tego rodzaju problemu. Dotyczy to rozkład dwumianowy z prawdopodobieństwem sukcesu podanym przez p = 1/6. Wzór na dokładnie k z tych kości, które są pewną liczbą, jest znane jako funkcja masy prawdopodobieństwa dla dwumianu dystrybucja.

Inną sytuacją, którą powinniśmy wziąć pod uwagę, jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej określonej liczby określonej wartości. Na przykład, kiedy rzucamy pięcioma kośćmi, jakie jest prawdopodobieństwo rzutu co najmniej trzema? Możemy rzucić trzy, cztery lub pięć. Aby określić prawdopodobieństwo, które chcemy znaleźć, sumujemy trzy prawdopodobieństwa.

Poniżej znajduje się tabela prawdopodobieństw uzyskania dokładnego wyniku k o określonej wartości, gdy rzucamy pięcioma kostkami.

Następnie rozważamy następującą tabelę. Daje to prawdopodobieństwo rzutu co najmniej określoną liczbą wartości, gdy rzucimy łącznie pięcioma kostkami. Widzimy, że chociaż jest bardzo prawdopodobne, że rzuci co najmniej jedną 2, nie jest tak prawdopodobne, że rzuci co najmniej cztery 2.