Śmierć sprzedawcy obejmuje ostatnie 24 godziny z życia 63-letniego nieudanego sprzedawcy Willy'ego Lomana. Mówiąc narracyjnie, w tym czasie nie zdarza się wiele wydarzeń. Głównym celem gry jest raczej relacja między różnymi postaciami. Jako autor Arthur Miller powiedział w wywiadzie z 1985 roku: „Chciałem mieć dużo przestrzeni w sztuce, aby ludzie mogli skonfrontować się ze swoimi uczuciami, a nie dla ludzi, którzy chcą rozwinąć fabułę. Sztuka składa się z dwóch aktów i Requiem, które służy jako epilog. Ustawienie to Brooklyn pod koniec lat 40. XX wieku.
Akt I
Podczas jednej z podróży służbowych sprzedawca Willy Loman zdaje sobie sprawę, że nie jest już w stanie prowadzić samochodu. W domu na Brooklynie jego żona Linda sugeruje, by poprosił swojego szefa, Howarda Wagnera, o pracę w Nowym Jorku, aby nie musiał podróżować. Nie jest w pełni świadoma skali spadku Willy'ego w pracy i niepowodzenia jego ostatniej podróży.
Dwóch dorosłych synów Willy'ego, Biff i Happy, odwiedza po latach spędzonych osobno. Linda i Willy rozmawiają o tym, co stało się z ich synami, ponieważ żaden z nich nie osiągnął pozoru sukcesu, zgodnie ze standardami tamtych czasów. Biff ma słabą robotę, wykonując pracę fizyczną w Teksasie. Happy ma bardziej stabilną pracę, ale jest kobieciarzem i jest niezadowolony, ponieważ nie można go awansować. Tymczasem dwaj bracia rozmawiają o ich ojcu, a Happy opowiada Biffowi, jak postępuje w ostatnich czasach; w szczególności przyłapano go na mówieniu do siebie o przeszłych wydarzeniach. Bracia omawiają również możliwość wspólnego prowadzenia działalności.
W kuchni Willy zaczyna mówić do siebie i wspominać szczęśliwe wspomnienia. Jedna dotyczy Biffa, który jako nastolatek jest obiecującym piłkarzem i otrzymał różne stypendia uniwersyteckie na podstawie swoich atletycznych osiągnięć; przeciwnie, Bernard, syn jego sąsiada i starego przyjaciela Charleya, jest tylko kujonem. Willy jest pewien, że jego syn odniesie sukces, ponieważ jest „lubiany”, co w rodzinie Lomanów jest bardziej wartościową cechą niż inteligencja.
Kolejne wspomnienie pokazuje początek zmagań Willy'ego w pracy, gdy rozmawia on z Lindą o poprzedniej podróży służbowej, którą później przyznaje, że odnosi mniej sukcesów, niż twierdził. To wspomnienie łączy się z rozmową z jego kochanką, określaną tylko jako „Kobieta”.
Wracając do teraźniejszości, Charley podchodzi do gry w karty i oferuje Willy'emu pracę, ale ze złością odmawia. Potem zaczyna się kolejna pamięć i Willy nie jest w stanie oddzielić rzeczywistości od fantazji. Willy wyobraża sobie, że jego brat Ben wszedł do kuchni i zaczął z nim rozmawiać przed Charleyem. Willy i Ben wspominają swojego ojca i rozmawiają o jego udanej branży wydobycia diamentów w Afryce.
Podczas gdy Willy wychodzi na spacer, dzisiejsza Linda i dwaj bracia dyskutują o stanie Willy'ego. Linda mówi im o jego pogarszającym się stanie zdrowia, nieustannym bełkoczeniu i próbach samobójczych, ale przypisuje je wyczerpaniu zamiast problemom psychicznym. Chłopcy czują się zawstydzeni swoim stanem, ale wydają się chętni do pomocy ojcu. Kiedy wraca do domu, informują go, że Biff ma pomysł na biznes, i dyskutują o tym, by poprosić Billa Olivera, starego znajomego, o wsparcie finansowe.
Akt II
Następnego ranka, podczas śniadania, Linda i Willy omawiają jego planowaną prośbę o płatne stanowisko w Nowym Jorku i pewność, że bracia otrzymają pieniądze na rozpoczęcie działalności. Jednak po błaganiu szefa Willy zostaje zwolniony.
Kolejna scena to kolejne wspomnienie Willy'ego, tym razem z Benem zbliżającym się do młodszego Willy'ego, który przygotowuje się do wyjazdu na Alaskę. Ben oferuje mu pracę i choć Willy chce odejść, Linda go namawia, podkreślając jego sukces i potencjał jako sprzedawcy.
Po utracie pracy Willy odwiedza Charley w swoim biurze, aby poprosić o pożyczkę. Tam wpada na Bernarda, teraz prawnika i oczekującego drugiego syna. Willy pyta, jak udało mu się odnieść sukces, gdy obiecujące życie Biffa zostało zmarnowane. Bernard mówi o nieudanej matematyce Biffa i odmowie pójścia do szkoły letniej po jego podróży do Bostonu. Charley pożycza Willy'emu pieniądze i oferuje mu pracę, ale ponownie go odrzuca.
Biff i Happy spotykają się w restauracji, w której Happy flirtuje z dziewczyną. Biff jest zdenerwowany, ponieważ po sześciu godzinach, kiedy zobaczył Billa Olivera z prośbą o sfinansowanie pomysłu na biznes, Oliver odmówił i nawet go nie pamiętał. Kiedy Willy przybywa na spotkanie z nimi na kolację, mówi im, że został zwolniony, a Biff próbuje mu powiedzieć, co się stało z Oliverem, ale Willy przechodzi w inne wspomnienie. Tym razem widzi, jak młody Bernard mówi Lindzie, że Biff nie zdał matematyki i wsiadł do pociągu do Bostonu, aby znaleźć ojca. Willy znajduje się w hotelu w Bostonie z „kobietą”, gdy ktoś puka do drzwi. Willy każe jej iść do łazienki. Młody Biff jest u drzwi. Mówi ojcu, że nie zdał matematyki i nie będzie mógł ukończyć szkoły, i prosi o pomoc. Potem kobieta wychodzi z łazienki. Biff nazywa ojca kłamcą, fałszywym i fałszywym. Spotkanie skłoniło Biffa do rezygnacji z kariery „American Dream”, ponieważ całkowicie stracił wiarę w ojca i wartości, których ich nauczył.
Po powrocie do restauracji bracia wyszli z dwiema kobietami. Willy jest zdezorientowany i prosi kelnera o drogę do sklepu z nasionami. Potem idzie do domu i sadzi ogród. W innej wyobrażonej interakcji Willy rozmawia z Benem o swoich planach popełnienia samobójstwa rodzina może otrzymać pieniądze na ubezpieczenie na życie i zobaczyć, jak bardzo „lubi się” w swoim domu pogrzeb.
Biff wpada na podwórko, aby powiedzieć ojcu, że wyjeżdża na zawsze. Obwiniają się nawzajem za swoje wady i niedociągnięcia w życiu, ale w końcu załamują się, płacząc, a Biff mówi, że oboje są zwykłymi ludźmi i nigdy nie odnieśli sukcesu. Willy czyta to jako dowód miłości syna do niego. Następnie wsiada do samochodu i odjeżdża.
Msza żałobna
Ten epilog ma miejsce na pogrzebie Willy'ego Lomana, po jego samobójstwie. Ze wszystkich znajomych Willy'ego pojawiają się tylko Charley i Bernard. Happy mówi, że postanowił zostać i spełnić marzenia ojca, podczas gdy Biff zamierza opuścić Brooklyn na zawsze. Kiedy Linda żegna się z mężem po raz ostatni, wyraża dezorientację, dlaczego postanowił odebrać sobie życie, zwłaszcza dzień, w którym w końcu skończyli spłacać kredyt hipoteczny w ich domu.