Historia algebry

Różni pisarze podali różne pochodne słowa „algebra”, które ma arabskie pochodzenie. Pierwsza wzmianka o tym słowie znajduje się w tytule dzieła Mahommeda ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), który rozkwitł na początku IX wieku. Pełny tytuł to ilm al-jebr wa'l-muqabala, który zawiera idee restytucji i porównania lub sprzeciwu i porównania lub rozdzielczości i równania, jebr pochodzące z czasownika Jabara, zjednoczyć się i muqabala, od gabala, wyrównać. (Korzeń Jabara spotkał się również ze słowem algebrista, co oznacza „ustawiacza kości” i nadal jest powszechnie stosowany w Hiszpanii.) Tę samą pochodną podaje Lucas Paciolus (Luca Pacioli), który powiela to wyrażenie w formie transliterowanej alghebra e almucabala, i przypisuje wynalazek Arabom.

Inni pisarze wywodzą to słowo od arabskiej cząstki glin (określony artykuł) oraz gerber co znaczy „człowiek”. Ponieważ jednak Geber był nazwiskiem sławnego mauretańskiego filozofa, który rozkwitł około XI lub XII wieku przypuszczano, że był założycielem algebry, która odtąd utrwala jego Nazwa. Dowody Piotra Ramusa (1515-1572) na ten temat są interesujące, ale nie daje on autorytetu dla swoich pojedynczych wypowiedzi. W przedmowie do niego

instagram viewer

Arithmeticae libri duo et totidem Algebrae (1560) mówi: „Algebra to Syryjczyk, oznaczający sztukę lub doktrynę doskonałego człowieka. Dla Gebera, po syryjsku, jest to nazwa odnosząca się do ludzi, a czasami jest terminem honoru, jako mistrz lub doktor wśród nas. Był pewien uczony matematyk, który wysłał swoją algebrę napisaną w języku syryjskim do Aleksandra Wielkiego i nazwał ją almucabala, to znaczy księga ciemnych lub tajemniczych rzeczy, które inni wolą nazywać nauką algebry. Do dziś ta sama książka cieszy się dużym uznaniem wśród naukowców z narodów orientalnych, a przez Indian uprawiających tę sztukę, nazywa się ją aljabra i alboret; choć nazwisko samego autora nie jest znane. ”Niepewny autorytet tych stwierdzeń, a wiarygodność powyższego wyjaśnienia spowodowała, że filologowie zaakceptowali pochodzenie od glin i Jabara. Robert Recorde w swoim Whetstone of Witte (1557) używa wariantu algeber, podczas gdy John Dee (1527–1608) to potwierdza algiebar, i nie algebra, jest prawidłową formą i odwołuje się do autorytetu Arabskiej Awicenny.

Chociaż termin „algebra” jest obecnie w powszechnym użyciu, w okresie renesansu włoscy matematycy używali różnych innych nazw. Tak więc widzimy, że nazywa to Paciolus l'Arte Magiore; ditta dal vulgo la Regula de la Cosa over Alghebra e Almucabala. Imię l'arte magiore, większa sztuka ma ją odróżniać l'arte minore, sztuka mniejsza, termin, który zastosował do współczesnej arytmetyki. Jego drugi wariant la regula de la cosa, wydaje się, że zasada rzeczy lub nieznanej ilości była powszechnie używana we Włoszech, a słowo cosa został zachowany przez kilka stuleci w postaci kozła lub algebry, kossika lub algebraiki, kossisty lub algebraisty, i ok. Inni włoscy pisarze nazywali to Regula rei et census, reguła rzeczy i produktu lub pierwiastek i kwadrat. Zasada leżąca u podstaw tego wyrażenia prawdopodobnie wynika z faktu, że mierzył on granice ich osiągnięcia w algebrze, ponieważ nie byli w stanie rozwiązać równań wyższego stopnia niż kwadratowy lub plac.

Nazwali go Franciscus Vieta (Francois Viete) Specjalna arytmetyka, ze względu na gatunki w ilościach, które reprezentował symbolicznie różnymi literami alfabetu. Sir Isaac Newton wprowadził termin Uniwersalna arytmetyka, ponieważ dotyczy doktryny operacji, która nie ma wpływu na liczby, ale na symbole ogólne.

Niezależnie od tych i innych idiosynkratycznych apelacji, europejscy matematycy wyznają starszą nazwę, dzięki której temat ten jest obecnie powszechnie znany.

Ciąg dalszy na stronie drugiej.

Ten dokument jest częścią artykułu na temat algebry z encyklopedii z 1911 roku, która nie jest objęta prawami autorskimi tutaj w Stanach Zjednoczonych. Artykuł jest własnością publiczną i możesz kopiować, pobierać, drukować i rozpowszechniać tę pracę, jak widzisz dopasowanie.

Dołożono wszelkich starań, aby przedstawić ten tekst dokładnie i czysto, ale nie gwarantuje się żadnych błędów. Ani Melissa Snell, ani About nie mogą być pociągane do odpowiedzialności za jakiekolwiek problemy związane z wersją tekstową lub jakąkolwiek elektroniczną formą tego dokumentu.

Trudno jednoznacznie przypisać wynalazek jakiejkolwiek sztuki lub nauki do konkretnego wieku lub rasy. Nieliczne fragmentaryczne zapisy, które otrzymaliśmy od dawnych cywilizacji, nie mogą być uważane za reprezentujące całość ich wiedzy oraz pominięcie nauki lub sztuki niekoniecznie oznacza, że nauka lub sztuka były nieznany. Wcześniej zwyczajem było przypisywanie wynalazku algebry Grekom, ale od czasu ich rozszyfrowania Papirus Rhinda autorstwa Eisenlohra ten pogląd się zmienił, ponieważ w tej pracy widać wyraźne oznaki algebraiczne analiza. Konkretna kupa problemowa (hau) i jej siódma sprawiają, że 19 jest rozwiązany, ponieważ powinniśmy teraz rozwiązać proste równanie; ale Ahmes różni swoje metody w innych podobnych problemach. To odkrycie przenosi wynalazek algebry z powrotem do około 1700 roku p.n.e., jeśli nie wcześniej.

Jest prawdopodobne, że algebra Egipcjan miała najbardziej szczątkowy charakter, ponieważ w przeciwnym razie powinniśmy spodziewać się jej śladów w pracach greckich eeometrów. z których Thales of Miletus (640-546 p.n.e.) był pierwszym. Niezależnie od ciągłości pisarzy i liczby pism, wszystkie próby wydobycia analizy algebraicznej z ich geometrii twierdzenia i problemy były bezowocne i ogólnie przyznaje się, że ich analiza była geometryczna i miała niewielkie lub żadne powinowactwo do algebra. Pierwszym zachowanym dziełem, które zbliża się do traktatu o algebrze, jest Diofantus (q.v.), matematyk aleksandryjski, który rozkwitł około 350 r.n.e. Oryginał, który składał się ze wstępu i trzynastu książek, jest teraz zagubiony, ale mamy łacińskie tłumaczenie pierwszych sześciu książek i fragment innego o liczbach wielokątnych Ksylandra z Augsburga (1575) oraz tłumaczenia łacińskie i greckie Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Opublikowano inne wydania, o których możemy wspomnieć Pierre Fermat's (1670), T. L. Heath's (1885) i P. Garbarnia (1893–1895). W przedmowie do tego dzieła, które jest poświęcone jednemu Dionizy, Diofant wyjaśnia swój zapis, nazywając potęga kwadratowa, sześcianowa i czwarta, dynamis, cubus, dynamodinimus itd., zgodnie z sumą w wskaźniki Nieznany, którego on określa arytmos, liczba, aw rozwiązaniach zaznacza ją końcowymi s; wyjaśnia generowanie mocy, zasady mnożenia i dzielenia prostych wielkości, ale nie traktuje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia związku wielkie ilości. Następnie omawia różne sztuczki upraszczające równania, podając metody, które są nadal w powszechnym użyciu. W treści pracy wykazuje dużą pomysłowość w sprowadzaniu swoich problemów do prostych równań, które dopuszczają albo bezpośrednie rozwiązanie, albo należą do klasy znanej jako równania nieokreślone. Tę ostatnią klasę omawiał tak sumiennie, że często są one znane jako problemy diofantyczne, a metody rozwiązywania ich jako diofantyna analiza (patrz WYRÓWNANIE, nieokreślona). Trudno uwierzyć, że dzieło Diofantusa powstało spontanicznie w okresie ogólnej stagnacji. Jest więcej niż prawdopodobne, że był dłużnikiem wcześniejszych pisarzy, o których nie wspomina, a których dzieła są teraz zagubione; niemniej jednak w przypadku tej pracy powinniśmy doprowadzić do założenia, że algebra była prawie, jeśli nie całkowicie, nieznana Grekom.

Rzymianie, którzy zastąpili Greków jako główną cywilizowaną potęgę w Europie, nie zaprzątali sobie głowy skarbami literackimi i naukowymi; matematyka była prawie zaniedbana; i poza kilkoma ulepszeniami obliczeń arytmetycznych, nie ma istotnych postępów do zarejestrowania.

W chronologicznym rozwoju naszego przedmiotu musimy teraz zwrócić się ku Orientowi. Badanie pism matematyków indyjskich wykazało zasadnicze rozróżnienie między greckim a greckim Umysł indyjski, ten pierwszy jest przede wszystkim geometryczny i spekulatywny, a drugi głównie arytmetyczny praktyczny. Stwierdzamy, że geometria była zaniedbywana, chyba że służyła astronomii; trygonometria była zaawansowana, a algebra poprawiła się znacznie poza osiągnięcia Diofantusa.

Ciąg dalszy na stronie trzeciej.

Najwcześniejszym matematykiem indyjskim, o którym wiemy, jest Aryabhatta, który rozkwitł na początku VI wieku naszej ery. Sława tego astronoma i matematyka spoczywa na jego pracy Aryabhattiyam, trzeci rozdział poświęcony jest matematyce. Ganessa, wybitny astronom, matematyk i uczony Bhaskary, cytuje tę pracę i osobno wspomina o Cuttaca („pulveriser”), urządzenie do wykonywania rozwiązania nieokreślonych równań. Henry Thomas Colebrooke, jeden z pierwszych współczesnych badaczy nauki hinduskiej, zakłada, że traktat z Aryabhatta rozszerzyła się na wyznaczanie równań kwadratowych, równania nieokreślone pierwszego stopnia i prawdopodobnie druga. Praca astronomiczna zwana Surya-siddhanta („wiedza o Słońcu”), niepewnego autorstwa i prawdopodobnie należącego do IV lub V wieku wielkiej zasługi Hindusów, którzy umieścili ją na drugim miejscu w stosunku do dzieła Brahmagupty, która rozkwitła około wieku później. Jest to bardzo interesujące dla studenta historii, ponieważ wykazuje wpływ greckiej nauki na indyjską matematykę w okresie poprzedzającym Aryabhatta. Po około stu latach, kiedy matematyka osiągnęła najwyższy poziom, rozkwitła Brahmagupta (ur. A.D. 598), którego praca zatytułowana Brahma-sphuta-siddhanta („Zmieniony system Brahmy”) zawiera kilka rozdziałów poświęconych matematyce. O innych indyjskich pisarzach można wymienić Cridharę, autora Ganita-sary („Kwintesencji obliczeń”) i Padmanabha, autora algebry.

Wydaje się, że okres matematycznej stagnacji opanował umysł Indii przez pewien czas kilka stuleci, bo dzieła następnego autora w dowolnym momencie stoją, ale niewiele wcześniej Brahmagupta. Mówimy o Bhaskara Acaryi, którego dzieło Siddhanta-ciromani („Diadem systemu anastronomicznego”), napisany w 1150 r., Zawiera dwa ważne rozdziały, Lilavati („ piękne [nauka lub sztuka] ”) i Viga-ganita („ ekstrakcja korzenia ”), które oddaje się arytmetyce i algebra.

Tłumaczenie na język angielski rozdziałów matematycznych Brahma-siddhanta i Siddhanta-ciromani autor: H. T. Colebrooke (1817) i of Surya-siddhanta PA. Burgess, z adnotacjami W. RE. Szczegółowe informacje można uzyskać w Whitney (1860).

Pytanie, czy Grecy zapożyczyli algebrę od Hindusów czy odwrotnie, było przedmiotem wielu dyskusji. Nie ma wątpliwości, że między Grecją a Indiami istniał stały ruch i jest więcej niż prawdopodobne, że wymianie produktów będzie towarzyszyć przekazywanie pomysłów. Moritz Cantor podejrzewa wpływ metod diofantycznych, szczególnie w hinduizmie rozwiązania równań nieokreślonych, w przypadku których, według wszelkiego prawdopodobieństwa, pewne terminy techniczne to Pochodzenie greckie Jakkolwiek by nie było, pewne jest, że hinduscy algebraiści byli daleko przed Diofantem. Niedociągnięcia greckiej symboliki zostały częściowo usunięte; odejmowanie oznaczono poprzez umieszczenie kropki nad subthend; pomnożenie, poprzez umieszczenie bha (skrót od bhavita, „produktu”) za faktem; podział, poprzez umieszczenie dzielnika pod dywidendą; i pierwiastek kwadratowy, wstawiając ka (skrót karana, irracjonalny) przed ilością. Nieznane nazywało się yavattavat, a jeśli było ich kilka, pierwsi przyjęli tę nazwę, a inni zostali nazwani nazwami kolorów; na przykład x oznaczono przez ya, a y przez ka (z kalaka, czarny).

Ciąg dalszy na stronie czwartej.

Znaczącą poprawę w ideach Diofantusa stanowi fakt, że Hindusi uznali istnienie dwóch korzeni równania kwadratowego, ale ujemne pierwiastki uznano za nieodpowiednie, ponieważ nie można było znaleźć dla nich żadnej interpretacji. Przypuszcza się również, że przewidywali odkrycia rozwiązań wyższych równań. Poczyniono wielkie postępy w badaniach równań nieoznaczonych, gałęzi analizy, w których wyróżniał się Diophantus. Ale podczas gdy Diofant dążył do uzyskania jednego rozwiązania, Hindusi dążyli do ogólnej metody, za pomocą której można by rozwiązać każdy nieokreślony problem. W tym były całkowicie udane, ponieważ uzyskali ogólne rozwiązania dla równań ax (+ lub -) o = c, xy = ax + o + c (odkąd ponownie odkrył Leonhard Euler) i cy2 = ax2 + b. Szczególny przypadek ostatniego równania, mianowicie y2 = ax2 + 1, poważnie opodatkował zasoby współczesnych algebraistów. Został zaproponowany przez Pierre'a de Fermata Bernhardowi Frenicle de Bessy, aw 1657 r. Wszystkim matematykom. John Wallis i Lord Brounker wspólnie uzyskali nużące rozwiązanie, które zostało opublikowane w 1658 r., A następnie w 1668 r. Przez Johna Pella w jego Algebrze. Rozwiązanie zostało również podane przez Fermata w jego Relacji. Chociaż Pell nie miał nic wspólnego z rozwiązaniem, potomność określiła równanie Równanie Pell, lub Problem, gdy bardziej słusznie powinien to być problem hinduski, w uznaniu osiągnięć matematycznych Brahmans.

Hermann Hankel zwrócił uwagę na gotowość Hindusów z liczby na wielkość i odwrotnie. Chociaż to przejście od nieciągłego do ciągłego nie jest naprawdę naukowe, to jednak znacznie zwiększyło rozwój algebry, a Hankel potwierdza, że jeśli definiujemy algebrę jako zastosowanie operacji arytmetycznych do liczb i wielkości wymiernych i irracjonalnych, wówczas bramini są prawdziwymi wynalazcami algebra.

Integracja rozproszonych plemion Arabii w VII wieku przez porywających zakonników propagandzie Mahometa towarzyszył gwałtowny wzrost intelektualnych mocy dotychczasowych niejasny wyścig. Arabowie stali się strażnikami nauki indyjskiej i greckiej, podczas gdy Europa była rozdarta wewnętrznymi niezgodami. Pod rządami Abbasydów Bagdad stał się centrum myśli naukowej; lekarze i astronomowie z Indii i Syrii przybywali na ich dwór; Manuskrypty greckie i indyjskie zostały przetłumaczone (dzieło rozpoczęte przez kalifa Mamuna (813–833) i umiejętnie kontynuowane przez jego następców); a około stulecia Arabowie byli w posiadaniu ogromnych zapasów greckiej i indyjskiej nauki. Elementy Euklidesa zostały po raz pierwszy przetłumaczone za panowania Harun-al-Rashida (786-809) i zrewidowane na polecenie Mamuna. Ale tłumaczenia te uznano za niedoskonałe i Tobit ben Korra (836-901) pozostawił wydanie zadowalającego wydania. Ptolemeusza Almagest, przetłumaczono także dzieła Apolloniusza, Archimedesa, Diofanta i fragmenty Brahmasiddhanty. Pierwszym znaczącym matematykiem arabskim był Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, który kwitł za panowania Mamuna. Jego traktat o algebrze i arytmetyce (którego ostatnia część zachowała się jedynie w formie tłumaczenia łacińskiego, odkrytego w 1857 r.) Nie zawiera niczego, co było nieznane Grekom i Hindusom; wykazuje metody powiązane z metodami obu ras, z przewagą elementu greckiego. Część poświęcona algebrze ma tytuł al-jeur wa'lmuqabala, a arytmetyka zaczyna się od „Spoken has Algoritmi”, nazwa Khwarizmi lub Hovarezmi przeszła do słowa Algoritmi, które zostało przekształcone w bardziej nowoczesne słowa algorizm i algorytm, oznaczające metodę przetwarzanie danych.

Ciąg dalszy na stronie piątej.

Tobit ben Korra (836-901), urodzony w Harran w Mezopotamii, wybitny językoznawca, matematyk i astronom, pełnił służbę dzięki tłumaczeniom różnych autorów greckich. Ważne jest jego badanie właściwości liczb polubownych (q.v.) i problemu przecięcia kąta. Pod względem wyboru studiów Arabowie bardziej przypominali Hindusów niż Greków; ich filozofowie połączyli rozprawy spekulacyjne z bardziej postępowymi badaniami medycyny; ich matematycy zaniedbali subtelności odcinków stożkowych i analizy diofantyczne, a dokładali się szczególnie do doskonalenia systemu cyfry (patrz NUMERALNE), arytmetyka i astronomia (q.v ..) W ten sposób doszło do tego, że chociaż poczyniono pewne postępy w algebrze, talenty rasy zostały nadane astronomia i trygonometria (q.v ..) Fahri des al Karbi, który rozkwitł na początku XI wieku, jest autorem najważniejszych prac arabskich na temat algebra. Postępuje zgodnie z metodami Diofantusa; jego praca nad nieokreślonymi równaniami nie przypomina metod indyjskich i nie zawiera niczego, czego nie można zebrać z Diofantusa. Rozwiązał równania kwadratowe zarówno geometrycznie, jak i algebraicznie, a także równania w postaci x2n + axn + b = 0; udowodnił także pewne zależności między sumą pierwszych n liczb naturalnych a sumami ich kwadratów i sześcianów.

Równania sześcienne rozwiązano geometrycznie, określając przecięcia przekrojów stożkowych. Problem Archimedesa polegający na dzieleniu kuli przez płaszczyznę na dwa segmenty o ustalonym stosunku był następujący po raz pierwszy wyrażony jako równanie sześcienne przez Al Mahani, a pierwsze rozwiązanie podał Abu Gafar al Hazin Określenie strony regularnego heptagonu, który może być wpisany lub ograniczony do dany krąg został zredukowany do bardziej skomplikowanego równania, które najpierw pomyślnie rozwiązał Abul Gud. Metodę rozwiązywania równań geometrycznych znacznie rozwinął Omar Khayyam z Khorassan, który rozkwitł w XI wieku. Autor ten zakwestionował możliwość rozwiązywania sześciennych za pomocą czystej algebry, a dwukwadratowych za pomocą geometrii. Jego pierwsze twierdzenie zostało obalone dopiero w XV wieku, ale jego drugie rozwiał Abul Weta (940-908), któremu udało się rozwiązać formy x4 = a i x4 + ax3 = b.

Chociaż podstawy geometrycznej rozdzielczości równań sześciennych należy przypisać Grekom (Eutocius przypisuje Menaechmusowi dwa metody rozwiązywania równania x3 = ai x3 = 2a3), jednak dalszy rozwój Arabów należy uznać za jeden z ich najważniejszych osiągnięcia. Grekom udało się rozwiązać odizolowany przykład; Arabowie osiągnęli ogólne rozwiązanie równań numerycznych.

Dużo uwagi poświęcono różnym stylom, w których autorzy arabscy potraktowali swój temat. Moritz Cantor zasugerował, że kiedyś istniały dwie szkoły, jedna sympatyzująca z Grekami, druga z Hindusami; i że chociaż pisma tego ostatniego zostały najpierw przestudiowane, zostały szybko odrzucone ze względu na bardziej wnikliwe greckie metody, więc że wśród późniejszych pisarzy arabskich metody indyjskie zostały praktycznie zapomniane, a ich matematyka stała się zasadniczo grecka postać.

Zwracając się do Arabów na Zachodzie, znajdujemy tego samego oświeconego ducha; Cordova, stolica mauretańskiego imperium w Hiszpanii, była tak samo ośrodkiem nauki jak Bagdad. Najwcześniejszym znanym matematykiem hiszpańskim jest Al Madshritti (zm. 1007), którego sława opiera się na rozprawie o polubownych liczbach i szkołach założonych przez jego uczniów w Cordoya, Dama i Granadzie. Gabir ben Allah z Sewilli, powszechnie zwany Geber, był znanym astronomem i najwyraźniej biegłym w algebrze, ponieważ przypuszczano, że słowo „algebra” jest złożone z jego imienia.

Gdy imperium mauretańskie zaczęło zanikać genialne intelektualne dary, które tak obficie pielęgnowały przez trzy lub cztery stulecia uległy osłabieniu, a po tym okresie nie udało im się stworzyć autora porównywalnego z autorami od 7 do 11 stulecia

Ciąg dalszy na stronie szóstej.