Dwuwymiarowa kinematyka: ruch w płaszczyźnie

W tym artykule przedstawiono podstawowe pojęcia konieczne do analizy ruchu obiektów w dwóch wymiarach, bez względu na siły, które powodują związane z tym przyspieszenie. Przykładem tego rodzaju problemu może być rzucenie piłki lub wystrzelenie kuli armatniej. Zakłada znajomość jednowymiarowa kinematyka, ponieważ rozwija te same pojęcia w dwuwymiarową przestrzeń wektorową.

Kinematyka obejmuje przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie, które są wszystkie ilości wektorowe które wymagają zarówno wielkości, jak i kierunku. Dlatego, aby rozpocząć problem w kinematyce dwuwymiarowej, musisz najpierw zdefiniować system współrzędnych ty używasz. Zasadniczo będzie to pod względem x-osi i y- oś, zorientowana tak, aby ruch był w kierunku dodatnim, chociaż mogą występować pewne okoliczności, w których nie jest to najlepsza metoda.

W przypadkach, w których rozważana jest grawitacja, zwyczajowo określa się kierunek grawitacji wy kierunek. Jest to konwencja, która ogólnie upraszcza problem, chociaż byłoby możliwe wykonanie obliczeń z inną orientacją, jeśli naprawdę tego potrzebujesz.

Wektor pozycji r jest wektorem, który przechodzi od początku układu współrzędnych do danego punktu w układzie. Zmiana pozycji (Δr, wymawiane „Delta r„) to różnica między punktem początkowym (r₁) do punktu końcowego (r₂). Definiujemy Średnia prędkość (v_av) tak jak:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Przyjmowanie limitu jako Δt zbliża się do 0, osiągamy chwilowa prędkośćv. Pod względem rachunku różniczkowego jest to pochodna r z szacunkiem do tlub rer/dt.

W miarę zmniejszania się różnicy czasu punkty początkowy i końcowy zbliżają się do siebie. Ponieważ kierunek r jest w tym samym kierunku co v, staje się jasne, że wektor prędkości chwilowej w każdym punkcie na ścieżce jest styczny do ścieżki.

Przydatną cechą wielkości wektorów jest to, że można je podzielić na wektory składowe. Pochodna wektora jest sumą jego składowych pochodnych, dlatego:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

Wielkość wektora prędkości podano w twierdzeniu Pitagorasa w postaci:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Kierunek v jest zorientowany alfa stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od x-komponent i można go obliczyć z następującego równania:

dębnik alfa = v_y / v_x

Przyśpieszenie jest zmianą prędkości w danym okresie czasu. Podobnie do powyższej analizy, stwierdzamy, że jest to Δv/Δt. Granicą tego jest Δt zbliżenie 0 daje pochodną v z szacunkiem do t.

Pod względem komponentów wektor przyspieszenia można zapisać jako:

za_x = dv_x/dt
za_y = dv_y/dt

lub

za_x = re²x/dt²
za_y = re²y/dt²

Wielkość i kąt (oznaczone jako beta odróżnić alfa) wektora przyspieszenia netto oblicza się ze składnikami w sposób podobny do tych dla prędkości.

Często dwuwymiarowa kinematyka obejmuje rozbicie odpowiednich wektorów na ich x- i y-komponenty, a następnie analizując każdy z komponentów tak, jakby były przypadkami jednowymiarowymi. Po zakończeniu tej analizy składowe prędkości i / lub przyspieszenia są następnie łączone z powrotem w celu uzyskania powstałych dwuwymiarowych wektorów prędkości i / lub przyspieszenia.

Powyższe równania można rozszerzyć dla ruchu w trzech wymiarach, dodając a z-komponent do analizy. Jest to ogólnie dość intuicyjne, chociaż należy zachować ostrożność, upewniając się, że odbywa się to we właściwym formacie, szczególnie w odniesieniu do obliczania kąta orientacji wektora.

Edytowany przez Dr Anne Marie Helmenstine