Prawdopodobieństwa wyrzucenia dwóch kości

Jednym z popularnych sposobów badania prawdopodobieństwa jest rzucanie kostkami. Standardowa matryca ma sześć boków wydrukowanych małymi kropkami o numerach 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Jeśli kość jest sprawiedliwa (a my to zrobimy założyć że wszystkie z nich są), to każdy z tych wyników jest równie prawdopodobny. Ponieważ istnieje sześć możliwych wyników, prawdopodobieństwo uzyskania dowolnej strony kości wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 wynosi 1/6 i tak dalej. Ale co się stanie, jeśli dodamy kolejną kostkę? Jakie są prawdopodobieństwa rzutu dwiema kośćmi?

Aby poprawnie określić prawdopodobieństwo rzutu kostką, musimy wiedzieć dwie rzeczy:

• Rozmiar próbka miejsca lub zbiór całkowitych możliwych wyników
• Jak często zdarzenie ma miejsce

W prawdopodobieństwo, zdarzenie jest pewnym podzbiorem przestrzeni próbki. Na przykład, gdy tylko jedna kostka jest rzucana, jak w powyższym przykładzie, przestrzeń próbki jest równa wszystkim wartościom na matrycy lub zestawie (1, 2, 3, 4, 5, 6). Ponieważ kość jest sprawiedliwa, każda liczba w zestawie występuje tylko raz. Innymi słowy, częstotliwość każdego numeru wynosi 1. Aby określić prawdopodobieństwo rzucenia dowolną liczbą na matrycy, dzielimy częstotliwość zdarzeń (1) przez wielkość przestrzeni próbki (6), co daje prawdopodobieństwo 1/6.

Rzucenie dwoma uczciwymi kośćmi ponad dwukrotnie podwaja trudność obliczania prawdopodobieństw. Jest tak, ponieważ rzucenie jedną kością jest niezależne od rzutu drugą. Jeden rzut nie ma wpływu na drugi. W przypadku niezależnych wydarzeń korzystamy z reguła mnożenia. Użycie diagramu drzewa pokazuje, że istnieje 6 x 6 = 36 możliwych wyników z rzucenia dwiema kostkami.

Załóżmy, że pierwsza rzucona kostka pojawia się jako 1. Drugi rzut może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Załóżmy teraz, że pierwsza kość to 2. Drugi rzut kości ponownie może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Znaleźliśmy już 12 potencjalnych wyników i jeszcze nie wyczerpaliśmy wszystkich możliwości pierwszej śmierci.

Możliwe wyniki rzucenia dwiema kostkami są przedstawione w poniższej tabeli. Zauważ, że liczba możliwych wyników jest równa przestrzeni próbki pierwszej kości (6) pomnożone przez przestrzeń próbki drugiej matrycy (6), która wynosi 36.

Ta sama zasada obowiązuje, jeśli pracujemy problemy z trzema kostkami. Mnożymy się i widzimy, że istnieje 6 x 6 x 6 = 216 możliwych wyników. Ponieważ pisanie wielokrotnego mnożenia staje się kłopotliwe, możemy użyć wykładników w celu uproszczenia pracy. Dla dwóch kości jest 6² możliwe rezultaty. Na trzy kości jest 6³ możliwe rezultaty. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli rzucimy n kości, wtedy jest ich w sumie 6ⁿ możliwe rezultaty.

Dzięki tej wiedzy możemy rozwiązać wszelkiego rodzaju problemy prawdopodobieństwa:

1. Rzucane są dwie sześciościenne kości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma dwóch kości wynosi siedem?

Najłatwiejszym sposobem rozwiązania tego problemu jest sprawdzenie powyższej tabeli. Zauważysz, że w każdym rzędzie jest jeden rzut kostką, przy czym suma dwóch kości wynosi siedem. Ponieważ jest sześć rzędów, istnieje sześć możliwych wyników, w których suma dwóch kości jest równa siedmiu. Liczba możliwych wyników ogółem pozostaje 36. Znów znajdujemy prawdopodobieństwo dzieląc częstotliwość zdarzeń (6) przez wielkość przestrzeni próbki (36), co daje prawdopodobieństwo 1/6.

2. Rzucane są dwie sześciościenne kości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Suma z dwóch kości to trzy?

W poprzednim problemie mogłeś zauważyć, że komórki, w których suma dwóch kości wynosi siedem, tworzą przekątną. To samo dotyczy tutaj, z tym wyjątkiem, że są tylko dwie komórki, w których suma kości wynosi trzy. Jest tak, ponieważ istnieją tylko dwa sposoby na uzyskanie tego wyniku. Musisz rzucić 1 i 2 lub musisz rzucić 2 i 1. Kombinacje do wyrzucenia sumy siedmiu są znacznie większe (1 i 6, 2 i 5, 3 i 4 itd.). Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że suma dwóch kości wynosi trzy, możemy podzielić częstotliwość zdarzeń (2) przez wielkość przestrzeni próbki (36), co daje prawdopodobieństwo 1/18.

3. Rzucane są dwie sześciościenne kości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczby na kostkach są różne?

Ponownie możemy łatwo rozwiązać ten problem, sprawdzając powyższą tabelę. Zauważysz, że komórki, w których liczby na kościach są takie same, tworzą przekątną. Jest ich tylko sześć, a po ich wykreśleniu mamy pozostałe komórki, w których liczby na kościach są różne. Możemy wziąć liczbę kombinacji (30) i podzielić ją przez wielkość przestrzeni próbki (36), co daje prawdopodobieństwo 5/6.