Matematyka wektorowa: podstawowe, ale kompleksowe wprowadzenie

Jest to podstawowe, choć miejmy nadzieję dość kompleksowe, wprowadzenie do pracy z wektorami. Wektory manifestują się na wiele różnych sposobów, od przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia do sił i pól. Artykuł poświęcony jest matematyce wektorów; ich zastosowanie w określonych sytuacjach zostanie omówione w innym miejscu.

ZA wielkość wektorowalub wektor, dostarcza informacji nie tylko o wielkości, ale także o kierunku ilości. Podając wskazówki dojazdu do domu, nie wystarczy powiedzieć, że jest on oddalony o 10 mil, ale należy podać kierunek tych 10 mil, aby informacje były przydatne. Zmienne będące wektorami będą oznaczone pogrubioną zmienną, chociaż często wektory są oznaczone małymi strzałkami nad zmienną.

Tak jak nie mówimy, że drugi dom znajduje się w odległości -10 mil, wielkość wektora jest zawsze liczbą dodatnią, a raczej wartością bezwzględną „długości” wektora (chociaż wielkość może nie być długością, może to być prędkość, przyspieszenie, siła itp.) Ujemny z przodu wektor nie wskazuje zmiany wielkości, ale raczej w kierunku wektor.

W powyższych przykładach odległość jest wielkością skalarną (10 mil), ale przemieszczenie to ilość wektorów (10 mil na północny wschód). Podobnie prędkość jest wielkością skalarną, podczas gdy prędkość jest a wektor Ilość.

ZA wektor jednostkowy jest wektorem o wielkości jednego. Wektor reprezentujący wektor jednostkowy jest zwykle również pogrubiony, chociaż będzie miał karat (^) powyżej, aby wskazać charakter jednostki zmiennej. Wektor jednostki x, napisane w karatach, jest ogólnie czytane jako „x-hat”, ponieważ karat wygląda jak zmienna w kapeluszu.

The wektor zerowylub wektor zerowy, jest wektorem o wielkości zero. Jest napisane jako 0 w tym artykule.

Wektory są zasadniczo zorientowane na układzie współrzędnych, z których najbardziej popularnym jest dwuwymiarowa płaszczyzna kartezjańska. Płaszczyzna kartezjańska ma oś poziomą oznaczoną x, a oś pionową oznaczoną y. Niektóre zaawansowane zastosowania wektorów w fizyce wymagają użycia trójwymiarowej przestrzeni, w której osiami są x, yiz. Ten artykuł będzie dotyczył głównie systemu dwuwymiarowego, choć koncepcje można bez trudu rozszerzyć do trzech wymiarów.

Wektory w wielowymiarowych układach współrzędnych można podzielić na ich wektory składowe. W przypadku dwuwymiarowym powoduje to: składnik x i a składnik y. Podczas dzielenia wektora na jego komponenty, wektor jest sumą komponentów:

fa = fa_x + fa_y

thetafa_xfa_yfa

fa_x / fa = cos theta i fa_y / fa = grzech thetaco daje nam
fa_x = fa sałata theta i fa_y = fa grzech theta

Zauważ, że liczby tutaj są wielkościami wektorów. Znamy kierunek komponentów, ale staramy się znaleźć ich wielkość, więc usuwamy informacje kierunkowe i wykonujemy te obliczenia skalarne, aby ustalić wielkość. Dalsze zastosowanie trygonometrii może być wykorzystane do znalezienia innych zależności (takich jak styczna) między niektórymi z tych wielkości, ale myślę, że to na razie wystarczy.

Przez wiele lat jedyną matematyką, której uczy się student, jest matematyka skalarna. Jeśli podróżujesz 5 mil na północ i 5 mil na wschód, przejechałeś 10 mil. Dodanie ilości skalarnych ignoruje wszystkie informacje o kierunkach.

Wektory są manipulowane nieco inaczej. Podczas manipulacji zawsze należy brać pod uwagę kierunek.

Kiedy dodajesz dwa wektory, wygląda to tak, jakbyś wziął wektory i umieścił je od końca do końca i utworzył nowy wektor biegnący od punktu początkowego do punktu końcowego. Jeśli wektory mają ten sam kierunek, oznacza to po prostu dodanie wielkości, ale jeśli mają różne kierunki, może stać się bardziej złożone.

Wektory dodaje się, dzieląc je na komponenty, a następnie dodając komponenty, jak poniżej:

za + b = do
za_x + za_y + b_x + b_y =
( za_x + b_x) + ( za_y + b_y) = do_x + do_y

Dwa x-komponenty dadzą x-komponent nowej zmiennej, podczas gdy dwa y-komponenty dadzą komponent y nowej zmiennej.

Kolejność dodawania wektorów nie ma znaczenia. W rzeczywistości kilka właściwości z dodawania skalarnego dotyczy dodawania wektora:

Tożsamość Własność dodawania wektora
za + 0 = za
Odwrotna właściwość dodawania wektora
za + -za = za - za = 0
Odblaskowa właściwość dodawania wektora
za = za
Własność przemienna dodatku wektorowego
za + b = b + za
Skojarzona właściwość dodawania wektora
(za + b) + do = za + (b + do)
Przechodnia właściwość dodawania wektora
Gdyby za = b i do = b, następnie za = do

Najprostszą operacją, którą można wykonać na wektorze, jest pomnożenie go przez skalar. To zwielokrotnienie skalarne zmienia wielkość wektora. Innymi słowy, sprawia, że ​​wektor jest dłuższy lub krótszy.

Po pomnożeniu razy ujemny skalar, powstały wektor będzie wskazywał w przeciwnym kierunku.

The iloczyn skalarny dwóch wektorów jest sposobem na pomnożenie ich razem w celu uzyskania wielkości skalarnej. Zapisuje się to jako mnożenie dwóch wektorów, z kropką pośrodku reprezentującą mnożenie. Jako taki jest często nazywany produkt kropkowy dwóch wektorów.

Aby obliczyć iloczyn punktowy dwóch wektorów, należy wziąć pod uwagę kąt między nimi. Innymi słowy, jeśli mieliby ten sam punkt początkowy, jaki byłby pomiar kąta (theta) między nimi. Produkt kropkowy jest zdefiniowany jako:

za * b = ab sałata theta

ababba

W przypadkach, gdy wektory są prostopadłe (lub theta = 90 stopni), cos theta będzie zero. W związku z tym, iloczyn punktowy wektorów prostopadłych jest zawsze równy zero. Gdy wektory są równolegle (lub theta = 0 stopni), cos theta wynosi 1, więc iloczyn skalarny jest po prostu iloczynem wielkości.

Te schludne fakty można wykorzystać do udowodnienia, że ​​znając komponenty, można całkowicie wyeliminować potrzebę theta za pomocą (dwuwymiarowego) równania:

za * b = za_x b_x + za_y b_y

The produkt wektorowy jest napisane w formularzu za x bi jest zwykle nazywany produkt krzyżowy dwóch wektorów. W tym przypadku mnożymy wektory i zamiast uzyskać liczbę skalarną, otrzymamy wielkość wektorową. To jest najtrudniejsze z obliczeń wektorowych, z którymi mamy do czynienia, jak to jest nie przemienny i obejmuje korzystanie z przerażających reguła prawa, do którego niedługo dojdę.

Ponownie rozważamy dwa wektory narysowane z tego samego punktu, pod kątem theta między nimi. Zawsze bierzemy najmniejszy kąt, więc theta będzie zawsze w zakresie od 0 do 180, a zatem wynik nigdy nie będzie ujemny. Wielkość powstałego wektora określa się w następujący sposób:

Gdyby do = za x b, następnie do = ab grzech theta

Iloczyn wektorowy wektorów równoległych (lub antyrównoległych) jest zawsze równy zero

Iloczyn wektorowy będzie prostopadły do ​​płaszczyzny utworzonej z tych dwóch wektorów. Jeśli wyobrażasz sobie płaszczyznę płaską na stole, pojawia się pytanie, czy powstały wektor w górę (nasz „out” ze stołu, z naszej perspektywy) lub w dół (lub „do” stołu, z naszego) perspektywiczny).

Aby to zrozumieć, musisz zastosować tzw reguła prawa. Kiedy studiowałem fizykę w szkole, ja znienawidzony zasada prawej ręki. Za każdym razem, gdy go używałem, musiałem wyciągać książkę, aby sprawdzić, jak to działa. Mam nadzieję, że mój opis będzie nieco bardziej intuicyjny niż ten, do którego mnie wprowadzono.

Jeśli masz za x b położysz swoją prawą rękę na długości b tak aby palce (oprócz kciuka) mogły się zakrzywiać, aby wskazywać wzdłuż za. Innymi słowy, próbujesz zrobić kąt theta między dłonią a czterema palcami prawej dłoni. W tym przypadku kciuk będzie wystawał prosto (lub poza ekran, jeśli spróbujesz to zrobić na komputerze). Twoje kostki będą z grubsza ustawione w linii z punktem początkowym dwóch wektorów. Precyzja nie jest niezbędna, ale chcę, abyś wpadł na pomysł, ponieważ nie mam zdjęcia tego do przedstawienia.

Jeśli jednak rozważasz b x zazrobisz coś przeciwnego. Położysz swoją prawą rękę za i wskazuj palcami b. Jeśli spróbujesz to zrobić na ekranie komputera, okaże się to niemożliwe, więc użyj swojej wyobraźni. Przekonasz się, że w tym przypadku twój pomysłowy kciuk wskazuje na ekran komputera. To jest kierunek wynikowego wektora.

Reguła po prawej stronie pokazuje następującą zależność:

za x b = - b x za

cabc

do_x = za_y b_z - za_z b_y
do_y = za_z b_x - za_x b_z
do_z = za_x b_y - za_y b_x

abdo_xdo_ydo

Na wyższych poziomach praca z wektorami może być bardzo złożona. Całe kursy na studiach, takie jak algebra liniowa, poświęcają wiele czasu na macierze (których uprzejmie unikałem we wstępie), wektory i przestrzenie wektorowe. Ten poziom szczegółowości wykracza poza zakres tego artykułu, ale powinno to zapewnić podstawy niezbędne do większości manipulacji wektorowych przeprowadzanych w klasie fizyki. Jeśli zamierzasz głębiej studiować fizykę, zapoznasz się z bardziej złożonymi koncepcjami wektorowymi w trakcie nauki.