Naturalnym pytaniem o rozkład prawdopodobieństwa jest: „Jakie jest jego centrum?” Oczekiwana wartość jest jednym z takich pomiarów środka rozkładu prawdopodobieństwa. Ponieważ mierzy on średnią, nie powinno dziwić, że ta formuła wywodzi się ze wzoru średniej.
Aby ustalić punkt wyjścia, musimy odpowiedzieć na pytanie: „Jaka jest oczekiwana wartość?” Załóżmy, że mamy losową zmienną związaną z eksperymentem prawdopodobieństwa. Powiedzmy, że powtarzamy ten eksperyment w kółko. W długim okresie kilku powtórzeń tego samego eksperymentu prawdopodobieństwa, jeśli uśrednimy wszystkie nasze wartości zmienna losowa, uzyskalibyśmy oczekiwaną wartość.
W dalszej części zobaczymy, jak użyć formuły dla oczekiwanej wartości. Przyjrzymy się zarówno ustawieniom dyskretnym, jak i ciągłym, i zobaczymy podobieństwa i różnice we wzorach.
Wzór na dyskretną zmienną losową
Zaczynamy od analizy przypadku dyskretnego. Biorąc pod uwagę dyskretną zmienną losową Xzałóżmy, że ma wartości x1, x2, x3,... xni odpowiednie prawdopodobieństwa
p1, p2, p3,... pn. To znaczy, że daje funkcja masy prawdopodobieństwa dla tej zmiennej losowej fa(xja) = pja.Oczekiwana wartość X wynika ze wzoru:
MI(X) = x1p1 + x2p2 + x3p3 +... + xnpn.
Korzystanie z funkcji masy prawdopodobieństwa i notacji sumowania pozwala nam bardziej zwięźle napisać tę formułę w następujący sposób, w którym suma jest przejmowana przez indeks ja:
MI(X) = Σ xjafa(xja).
Ta wersja formuły jest pomocna do zobaczenia, ponieważ działa również, gdy mamy nieskończoną przestrzeń próbki. Ta formuła może być łatwo dostosowana do ciągłego przypadku.
Przykład
Rzuć monetą trzy razy i pozwól X być liczbą głów. Zmienna losowa X jest dyskretny i skończony. Jedyne możliwe wartości, jakie możemy mieć, to 0, 1, 2 i 3. Ma to rozkład prawdopodobieństwa dla 1/8 X = 0, 3/8 dla X = 1, 3/8 dla X = 2, 1/8 dla X = 3. Użyj formuły oczekiwanej wartości, aby uzyskać:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
W tym przykładzie widzimy, że na dłuższą metę uśrednimy w sumie 1,5 głowy z tego eksperymentu. Ma to sens z naszą intuicją, ponieważ połowa z 3 to 1,5.
Wzór na ciągłą zmienną losową
Przechodzimy teraz do ciągłej zmiennej losowej, którą oznaczymy X. Pozwolimy, aby funkcja gęstości prawdopodobieństwa wynosiła X być podane przez funkcję fa(x).
Oczekiwana wartość X wynika ze wzoru:
MI(X) = ∫ x f(x) dx.
Widzimy tutaj, że oczekiwana wartość naszej zmiennej losowej jest wyrażona jako całka.
Zastosowania o oczekiwanej wartości
Jest wiele wnioski o spodziewaną wartość zmiennej losowej. Ta formuła ciekawie prezentuje się w Paradoks Petersburga.