Ile elementów jest w zestawie mocy?

The zestaw zasilający zestawu ZA jest zbiorem wszystkich podzbiorów A. Podczas pracy ze skończonym zestaw z n elementy, jednym z pytań, które możemy zadać, jest: „Ile elementów jest w zestawie mocy ZA? Przekonamy się, że odpowiedź na to pytanie to 2ⁿ i udowodnij matematycznie, dlaczego to prawda.

Będziemy szukać wzoru, obserwując liczbę elementów w zestawie mocy ZA, gdzie ZA ma n elementy:

• Gdyby ZA = {} (pusty zestaw), a następnie ZA nie ma elementów, ale P (A) = {{}}, zestaw z jednym elementem.
• Gdyby ZA = {a} ZA ma jeden element i P (A) = {{}, {a}}, zestaw z dwoma elementami.
• Gdyby ZA = {a, b}, a następnie ZA ma dwa elementy i P (A) = {{}, {a}, {b}, {a, b}}, zestaw z dwoma elementami.

We wszystkich tych sytuacjach łatwo jest poszukać zestawy z niewielką liczbą elementów, które jeśli jest skończona liczba n elementy w ZA, a następnie zestaw mocy P. (ZA) ma 2n elementy. Ale czy ten wzór trwa? Tylko dlatego, że wzór jest prawdziwy n = 0, 1 i 2 niekoniecznie oznacza, że ​​wzorzec jest prawdziwy dla wyższych wartości n.

Ale ten wzór trwa. Aby pokazać, że tak rzeczywiście jest, wykorzystamy dowód przez indukcję.

Dowód indukcyjny jest użyteczny do udowodnienia stwierdzeń dotyczących wszystkich liczb naturalnych. Osiągamy to w dwóch etapach. W pierwszym kroku zakotwiczamy nasz dowód, pokazując prawdziwe stwierdzenie dla pierwszej wartości n które chcemy rozważyć. Drugim krokiem naszego dowodu jest założenie, że oświadczenie to obowiązuje n = koraz przedstawienie, że implikuje to stwierdzenie n = k + 1.

Aby pomóc w naszym dowodzie, potrzebujemy kolejnej obserwacji. Z powyższych przykładów możemy zobaczyć, że P ({a}) jest podzbiorem P ({a, b}). Podzbiory {a} tworzą dokładnie połowę podzbiorów {a, b}. Możemy uzyskać wszystkie podzbiory {a, b}, dodając element b do każdego z podzbiorów {a}. Dodanie zestawu odbywa się za pomocą operacji ustawiania unii:

• Pusty zestaw U {b} = {b}
• {a} U {b} = {a, b}

Są to dwa nowe elementy w P ({a, b}), które nie były elementami P ({a}).

Widzimy podobne wystąpienie dla P ({a, b, c}). Zaczynamy od czterech zestawów P ({a, b}) i do każdego z nich dodajemy element c:

• Pusty zestaw U {c} = {c}
• {a} U {c} = {a, c}
• {b} U {c} = {b, c}
• {a, b} U {c} = {a, b, c}

Tak więc otrzymujemy w sumie osiem elementów w P ({a, b, c}).

Jesteśmy teraz gotowi, aby potwierdzić stwierdzenie: „Jeśli zestaw ZA zawiera n elementy, a następnie zestaw mocy P (A) ma 2ⁿ elementy."

Zaczynamy od zauważenia, że ​​dowód indukcji został już zakotwiczony dla przypadków n = 0, 1, 2 i 3. Przypuszczamy, że przez indukcję zachodzi to stwierdzenie k. Teraz pozwól zestawowi ZA zawierać n + 1 elementy. Możemy pisać ZA = b U {x} i zastanów się, jak utworzyć podzbiory ZA.

Bierzemy wszystkie elementy P (B), a według hipotezy indukcyjnej istnieją 2ⁿ tych. Następnie dodajemy element x do każdego z tych podzbiorów b, co daje kolejne 2ⁿ podzbiory z b. To wyczerpuje listę podzbiorów b, więc suma wynosi 2ⁿ + 2ⁿ = 2(2ⁿ) = 2^{n + 1} elementy zestawu sił ZA.