Testowanie hipotez za pomocą testów t jednej próby

Zebrałeś swoje dane, masz swój model, uruchomiłeś regresję i masz swoje wyniki. Co teraz robisz ze swoimi wynikami?

W tym artykule rozważamy model prawa Okuna i wyniki z artykułu „Jak wykonać bezbolesny projekt ekonometrii". Zostaną wprowadzone i zastosowane jedno próbne testy t, aby sprawdzić, czy teoria pasuje do danych.

Teorię stojącą za prawem Okuna opisano w artykule: „Instant Econometrics Project 1 - Prawo Okuna”:

Prawo Okuna jest empiryczną zależnością między zmianą stopy bezrobocia a procentowym wzrostem realnej produkcji, mierzonym przez PNB. Arthur Okun oszacował następującą zależność między nimi:

Y_t = - 0,4 (X_t - 2.5 )

Można to również wyrazić jako bardziej tradycyjną regresję liniową, ponieważ:

Y_t = 1 - 0,4 X_t

Gdzie:
Y_t to zmiana stopy bezrobocia w punktach procentowych.
X_t jest procentową stopą wzrostu realnej produkcji, mierzoną przez rzeczywisty PNB.

Zatem naszą teorią jest, że wartości naszych parametrów są b₁ = 1 dla parametru nachylenia i b₂ = -0.4 dla parametru przechwytywania.

Wykorzystaliśmy dane amerykańskie, aby zobaczyć, jak dobrze dane pasują do teorii. Od "Jak wykonać bezbolesny projekt ekonometrii„widzieliśmy, że musimy oszacować model:

Za pomocą Microsoft Excel obliczyliśmy parametry b₁ oraz b₂. Teraz musimy sprawdzić, czy parametry te są zgodne z naszą teorią b₁ = 1 i b₂ = -0.4. Zanim to zrobimy, musimy zanotować kilka liczb, które dał nam Excel. Jeśli spojrzysz na zrzut ekranu z wynikami, zauważysz, że brakuje wartości. Było to celowe, ponieważ chcę, abyś sam obliczył wartości. Na potrzeby tego artykułu stworzę kilka wartości i pokażę, w których komórkach można znaleźć prawdziwe wartości. Zanim zaczniemy testowanie hipotez, musimy zanotować następujące wartości:

• Liczba obserwacji (komórka B8) Obs = 219

• Współczynnik (komórka B17) b₁ = 0.47 (pojawia się na wykresie jako „AAA”)
  Błąd standardowy (komórka C17) se₁ = 0.23 (pojawia się na wykresie jako „CCC”)
  t Stat (komórka D17) t₁ = 2.0435 (pojawia się na wykresie jako „x”)
  Wartość p (komórka E17) p₁ = 0.0422 (pojawia się na wykresie jako „x”)

• Współczynnik (komórka B18) b₂ = - 0.31 (pojawia się na wykresie jako „BBB”)
  Błąd standardowy (komórka C18) se₂ = 0.03 (pojawia się na wykresie jako „DDD”)
  t Stat (komórka D18) t₂ = 10.333 (pojawia się na wykresie jako „x”)
  Wartość p (komórka E18) p₂ = 0.0001 (pojawia się na wykresie jako „x”)

W następnym rozdziale przyjrzymy się testowaniu hipotez i sprawdzimy, czy nasze dane pasują do naszej teorii.

Pamiętaj, aby przejść do strony 2 z „Testowania hipotez przy użyciu testów t dla jednej próbki”.

Najpierw rozważymy naszą hipotezę, że zmienna przechwytująca jest równa jednej. Idea tego jest dość dobrze wyjaśniona w gudżarati Podstawy ekonometrii. Na stronie 105 gudżarati opisuje testowanie hipotez:

• „[S] zamierzamy to zrobić hipoteza to prawda b₁ przyjmuje określoną wartość liczbową, np. b₁ = 1. Naszym zadaniem jest teraz „przetestowanie” tej hipotezy. ”„ W język hipotez testujących hipotezę taką jak B.₁ = 1 nazywa się Hipoteza zerowa i jest ogólnie oznaczony symbolem H.₀. A zatem H.₀: B₁ = 1. Hipoteza zerowa jest zwykle testowana przeciwko alternatywna hipotezaoznaczony symbolem H.₁. Alternatywna hipoteza może przyjąć jedną z trzech form:
  H.₁: b₁ > 1, który nazywa się a jednostronny alternatywna hipoteza lub
  H.₁: b₁ < 1, również a jednostronny alternatywna hipoteza lub
  H.₁: b₁ nie równy 1, który nazywa się a dwustronny alternatywna hipoteza. To jest prawdziwa wartość większa lub mniejsza niż 1. ”

W powyższym zastąpiłem naszą hipotezę Gujarati, aby ułatwić podążanie. W naszym przypadku chcemy dwustronnej alternatywnej hipotezy, ponieważ chcemy wiedzieć, czy b₁ jest równy 1 lub nie równy 1.

Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, aby przetestować naszą hipotezę, jest obliczenie w teście statystycznym. Teoria leżąca u podstaw statystyki wykracza poza zakres tego artykułu. Zasadniczo to, co robimy, to obliczanie statystyki, którą można przetestować względem rozkładu t w celu ustalenia, jak prawdopodobne jest, że prawdziwa wartość współczynnika jest równa niektórym hipotezom wartość. Kiedy nasza hipoteza jest b₁ = 1 oznaczamy naszą statystykę t jako t₁(B₁=1) i można to obliczyć według wzoru:

t₁(B₁= 1) = (b₁ - B₁ / se₁)

Wypróbujmy to dla naszych danych przechwytujących. Przypomnijmy, że mieliśmy następujące dane:

• b₁ = 0.47
  se₁ = 0.23

Nasza statystyka t dla hipotezy, że b₁ = 1 jest po prostu:

t₁(B₁=1) = (0.47 – 1) / 0.23 = 2.0435

Więc t₁(B₁=1) jest 2.0435. Możemy również obliczyć nasz test t dla hipotezy, że zmienna nachylenia jest równa -0,4:

• b₂ = -0.31
  se₂ = 0.03

Nasza statystyka t dla hipotezy, że b₂ = -0.4 jest po prostu:

t₂(B₂= -0.4) = ((-0.31) – (-0.4)) / 0.23 = 3.0000

Więc t₂(B₂= -0.4) jest 3.0000. Następnie musimy przekonwertować je na wartości p. Wartość p ”można zdefiniować jako najniższy poziom istotności przy której hipotezę zerową można odrzucić... Z reguły im mniejsza wartość p, tym silniejszy jest dowód przeciwko hipotezie zerowej. ”(Gujarati, 113) Jako standardowa reguła, jeśli wartość p jest mniejsza niż 0,05, odrzucamy hipotezę zerową i akceptujemy alternatywę hipoteza. Oznacza to, że jeśli wartość p powiązana z testem t₁(B₁=1) jest mniejsza niż 0,05, odrzucamy hipotezę, że b₁=1 i zaakceptuj hipotezę, że b₁ nie równy 1. Jeśli powiązana wartość p jest równa lub większa niż 0,05, robimy coś wręcz przeciwnego, to znaczy akceptujemy hipotezę zerową, że b₁=1.

Niestety nie można obliczyć wartości p. Aby uzyskać wartość p, zazwyczaj musisz sprawdzić ją na wykresie. Większość standardowych statystyk i ekonometrii zawiera wykres wartości p na końcu książki. Na szczęście wraz z pojawieniem się Internetu istnieje znacznie prostszy sposób uzyskania wartości p. Strona Graphpad Quickcalcs: Test jednej próbki pozwala szybko i łatwo uzyskać wartości p. Korzystając z tej witryny, oto jak uzyskać wartość p dla każdego testu.

Kroki potrzebne do oszacowania wartości p dla B₁=1

• Kliknij pole radiowe zawierające „Enter mean, SEM and N.” Średnia to oszacowana wartość parametru, SEM to błąd standardowy, a N to liczba obserwacji.
• Wchodzić 0.47 w polu oznaczonym „Mean:”.
• Wchodzić 0.23 w polu oznaczonym „SEM:”
• Wchodzić 219 w polu oznaczonym „N:”, ponieważ jest to liczba naszych obserwacji.
• W sekcji „3. Podaj hipotetyczną średnią wartość ”kliknij przycisk opcji obok pustego pola. W tym polu wpisz 1, ponieważ taka jest nasza hipoteza.
• Kliknij „Oblicz teraz”

Powinieneś dostać stronę wyjściową. Na górze strony wyjściowej powinny znajdować się następujące informacje:

• Wartość P i znaczenie statystyczne:
  Dwustronna wartość P wynosi 0,0221
  Według konwencjonalnych kryteriów tę różnicę uważa się za statystycznie znaczącą.

Zatem nasza wartość p wynosi 0,0221, czyli mniej niż 0,05. W tym przypadku odrzucamy naszą hipotezę zerową i akceptujemy naszą alternatywną hipotezę. W naszych słowach dla tego parametru nasza teoria nie pasowała do danych.

Pamiętaj, aby przejść do strony 3 z „Testowanie hipotez przy użyciu testów t dla jednej próbki”.

Ponownie za pomocą witryny Graphpad Quickcalcs: Test jednej próbki możemy szybko uzyskać wartość p dla naszego drugiego testu hipotezy:

Kroki potrzebne do oszacowania wartość p dla B.₂= -0.4

• Kliknij pole radiowe zawierające „Wprowadź średnią, SEM i N.” Średnia to wartość parametru, którą oszacowaliśmy, SEM to błąd standardowy, a N to liczba obserwacji.
• Wchodzić -0.31 w polu oznaczonym „Mean:”.
• Wchodzić 0.03 w polu oznaczonym „SEM:”
• Wchodzić 219 w polu oznaczonym „N:”, ponieważ jest to liczba naszych obserwacji.
• Pod „3. Określ hipotetyczną średnią wartość ”kliknij przycisk opcji obok pustego pola. W tym polu wpisz -0.4, ponieważ taka jest nasza hipoteza.
• Kliknij „Oblicz teraz”

• Wartość P i istotność statystyczna: Dwustronna wartość P wynosi 0,0030
  Według konwencjonalnych kryteriów tę różnicę uważa się za statystycznie znaczącą.

Wykorzystaliśmy dane z USA do oszacowania modelu prawa Okuna. Korzystając z tych danych, stwierdziliśmy, że zarówno parametry przecięcia, jak i nachylenia są statystycznie znacząco różne niż te w prawie Okuna. Dlatego możemy stwierdzić, że w Stanach Zjednoczonych prawo Okuna nie obowiązuje.

Teraz, gdy wiesz, jak obliczyć i zastosować testy t dla jednej próbki, będziesz w stanie zinterpretować liczby obliczone w regresji.

Jeśli chcesz zadać pytanie na temat ekonometria, testowanie hipotez lub jakikolwiek inny temat lub komentarz do tej historii, skorzystaj z formularza opinii. Jeśli chcesz zdobyć pieniądze na ekonomiczny artykuł lub artykuł, sprawdź „Nagrodę Moffatta z 2004 r. W piśmie ekonomicznym”