Pojęcie wartość oczekiwana może być wykorzystany do analizy gry kasynowej w ruletkę. Możemy wykorzystać ten pomysł na podstawie prawdopodobieństwa, aby ustalić, ile pieniędzy na dłuższą metę stracimy, grając w ruletkę.
tło
Koło ruletki w USA zawiera 38 równych przestrzeni. Koło jest obracane, a kula losowo ląduje w jednym z tych miejsc. Dwie spacje są zielone i mają na nich cyfry 0 i 00. Pozostałe pola są ponumerowane od 1 do 36. Połowa pozostałych pól jest czerwona, a połowa z nich czarna. Można obstawiać różne zakłady w miejscu, w którym piłka ląduje. Typowym zakładem jest wybór koloru, takiego jak czerwony, i postawienie zakładu, aby piłka wylądowała na dowolnym z 18 czerwonych pól.
Prawdopodobieństwa dla ruletki
Ponieważ pola są tego samego rozmiaru, piłka równie dobrze może wylądować w dowolnym polu. Oznacza to, że koło ruletki zawiera mundur rozkład prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwa, które będą potrzebne do obliczenia naszej oczekiwanej wartości, są następujące:
- Istnieje w sumie 38 pól, więc prawdopodobieństwo, że kula wyląduje na jednym konkretnym polu, wynosi 1/38.
- Jest 18 czerwonych spacji, więc prawdopodobieństwo wystąpienia czerwieni wynosi 18/38.
- Istnieje 20 pól, które są czarne lub zielone, więc prawdopodobieństwo, że nie pojawi się czerwień, wynosi 20/38.
Zmienna losowa
Wygrane netto postawione w ruletce można traktować jako dyskretną zmienną losową. Jeśli postawimy 1 $ na czerwony i czerwony, wtedy odzyskujemy naszego dolara i kolejnego dolara. W rezultacie wygrane netto wynoszą 1. Jeśli postawimy 1 USD na czerwony i zielony lub czarny, wówczas tracimy dolara, który postawiliśmy. Daje to wygrane netto -1.
Zmienna losowa X zdefiniowana jako wygrane netto z zakładów na czerwone w ruletce przyjmie wartość 1 z prawdopodobieństwem 18/38 i przyjmie wartość -1 z prawdopodobieństwem 20/38.
Obliczanie wartości oczekiwanej
Używamy powyższych informacji z wzór na wartość oczekiwaną. Ponieważ mamy dyskretną losową zmienną X dla wygranych netto, oczekiwana wartość zakładu 1 $ na czerwony w ruletce wynosi:
P (czerwony) x (wartość X dla czerwonego) + P (nie czerwony) x (wartość X dla czerwonego) = 18/38 x 1 + 20/38 x (-1) = -0,053.
Interpretacja wyników
Pomaga zapamiętać znaczenie wartości oczekiwanej do interpretacji wyników tego obliczenia. Oczekiwana wartość jest w dużej mierze miarą środka lub średniej. Wskazuje, co stanie się na dłuższą metę za każdym razem, gdy postawimy 1 $ na czerwony.
Podczas gdy możemy wygrać kilka razy z rzędu w krótkim okresie, na dłuższą metę stracimy średnio ponad 5 centów za każdym razem, gdy gramy. Obecność miejsc 0 i 00 wystarczy, aby dać domowi niewielką przewagę. Ta zaleta jest tak mała, że może być trudna do wykrycia, ale ostatecznie dom zawsze wygrywa.