Uczymy się dość wcześnie w naszej karierze matematyki, że Factorial, zdefiniowane dla nieujemnych liczb całkowitych n, jest sposobem na opisanie powtarzanego mnożenia. Jest to oznaczone wykrzyknikiem. Na przykład:
Jedynym wyjątkiem od tej definicji jest zero silnia, gdzie 0! = 1. Gdy spojrzymy na te wartości silni, możemy sparować n z n!. To dałoby nam punkty (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) i tak dalej na.
Definicja funkcji gamma jest bardzo złożona. Zawiera skomplikowaną formułę, która wygląda bardzo dziwnie. Funkcja gamma korzysta z rachunku różniczkowego i matematycznego numer mi W przeciwieństwie do bardziej znanych funkcji, takich jak wielomiany lub funkcje trygonometryczne, funkcja gamma jest definiowana jako niewłaściwa całka innej funkcji.
Definicja funkcji gamma może być wykorzystana do wykazania wielu tożsamości. Jednym z najważniejszych jest to, że Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Możemy użyć tego i faktu, że Γ (1) = 1 z bezpośredniego obliczenia:
Ale nie musimy wprowadzać tylko liczb całkowitych do funkcji gamma. Każda liczba zespolona, która nie jest ujemną liczbą całkowitą, należy do dziedziny funkcji gamma. Oznacza to, że możemy rozszerzyć silnię na liczby inne niż nieujemne liczby całkowite. Spośród tych wartości jednym z najbardziej znanych (i zaskakujących) wyników jest to, że Γ (1/2) = √π.
Innym wynikiem podobnym do ostatniego jest to, że Γ (1/2) = -2π. Rzeczywiście, funkcja gamma zawsze generuje wynik wielokrotności pierwiastka kwadratowego z pi, gdy nieparzysta wielokrotność 1/2 jest wprowadzana do funkcji.
Funkcja gamma pojawia się w wielu pozornie niezwiązanych dziedzinach matematyki. W szczególności uogólnienie silni zapewnianej przez funkcję gamma jest pomocne w niektórych problemach kombinatoryki i prawdopodobieństwa. Trochę rozkłady prawdopodobieństwa są zdefiniowane bezpośrednio pod względem funkcji gamma. Na przykład rozkład gamma jest podany w funkcji funkcji gamma. Ten rozkład można wykorzystać do modelowania odstępu czasu między trzęsieniami ziemi. Rozkład t studenta, które można wykorzystać w przypadku danych, w których mamy nieznane odchylenie standardowe populacji, a rozkład chi-kwadrat jest również zdefiniowany w kategoriach funkcji gamma.