Czym różnią się kombinacje i permutacje

W całej matematyce i statystyce musimy umieć liczyć. Dotyczy to szczególnie niektórych prawdopodobieństwo problemy. Załóżmy, że otrzymaliśmy w sumie n różne obiekty i chcesz wybrać r z nich. Dotyczy to bezpośrednio matematyki znanej jako kombinatoryka, czyli nauki liczenia. Dwa główne sposoby ich liczenia r obiekty z n elementy nazywane są permutacjami i kombinacjami. Pojęcia te są ze sobą ściśle powiązane i łatwo je pomylić.

Jaka jest różnica między kombinacją a permutacją? Kluczową ideą jest porządek. Permutacja zwraca uwagę na kolejność, w jakiej wybieramy nasze obiekty. Ten sam zestaw obiektów, ale ułożonych w innej kolejności, da nam różne kombinacje. Dzięki kombinacji nadal wybieramy r obiekty z łącznie n, ale kolejność nie jest już uwzględniana.

Aby rozróżnić te pomysły, rozważymy następujący przykład: ile permutacji są dwóch liter ze zbioru {a, b, c}?

Tutaj wymieniamy wszystkie pary elementów z danego zestawu, cały czas zwracając uwagę na kolejność. Istnieje w sumie sześć permutacji. Lista wszystkich z nich to: ab, ba, bc, cb, ac i ca. Zauważ, że jako permutacje

Teraz odpowiemy na następujące pytanie: ile jest kombinacji dwóch liter z zestawu {a, b, c}?

Ponieważ mamy do czynienia z kombinacjami, nie dbamy już o zamówienie. Możemy rozwiązać ten problem, patrząc wstecz na permutacje, a następnie eliminując te, które zawierają te same litery. Jako kombinacje ab i ba są uważane za takie same. Zatem istnieją tylko trzy kombinacje: ab, ac i bc.

W sytuacjach, w których spotykamy się z większymi zestawami, jest zbyt czasochłonne, aby wymienić wszystkie możliwe kombinacje lub kombinacje i policzyć wynik końcowy. Na szczęście istnieją formuły, które dają nam liczbę permutacji lub kombinacji n przedmioty wzięte r na czas.

W tych formułach używamy skrótowej notacji n! nazywa nFactorial. Silnia po prostu mówi, aby pomnożyć wszystkie dodatnie liczby całkowite mniejsze lub równe n razem. Na przykład 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Z definicji 0! = 1.

Liczba permutacji n przedmioty wzięte r na raz jest podany wzorem:

P.(n,r) = n!/(n - r)!

Liczba kombinacji n przedmioty wzięte r na raz jest podany wzorem:

do(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Aby zobaczyć formuły w pracy, spójrzmy na początkowy przykład. Liczba permutacji zestawu trzech obiektów pobranych po dwa na raz jest podana przez P.(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. To pasuje dokładnie do tego, co uzyskaliśmy, wymieniając wszystkie permutacje.

Liczba kombinacji zestawu trzech obiektów pobranych po dwa na raz jest określona przez:

do(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Znów jest to zgodne z tym, co widzieliśmy wcześniej.

Formuły zdecydowanie oszczędzają czas, gdy jesteśmy proszeni o znalezienie liczby permutacji większego zestawu. Na przykład, ile jest permutacji z zestawu dziesięciu obiektów pobranych po trzy jednocześnie? Wymienienie wszystkich permutacji zajęłoby trochę czasu, ale dzięki formułom widzimy, że będą:

P.(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutacji.

Jaka jest różnica między permutacjami i kombinacjami? Najważniejsze jest to, że w sytuacjach zliczania, które wymagają zamówienia, należy stosować permutacje. Jeśli kolejność nie jest ważna, należy użyć kombinacji.