Współczynnik (!) W matematyce i statystyce

W matematyce symbole, które mają pewne znaczenia w języku angielskim może oznaczać bardzo wyspecjalizowane i różne rzeczy. Rozważmy na przykład następujące wyrażenie:

3!

Nie, nie korzystaliśmy z wykrzyknik aby pokazać, że jesteśmy podekscytowani trzema i nie powinniśmy czytać ostatniego zdania z naciskiem. W matematyce wyrażenie 3! jest odczytywany jako „trzy silnia” i jest tak naprawdę skrótowym sposobem na oznaczenie mnożenia kilku kolejnych liczb całkowitych.

Ponieważ istnieje wiele miejsc w matematyce i statystyce, w których musimy pomnożyć liczby razem, silnia jest dość przydatna. Niektóre z głównych miejsc, w których się pojawia, to kombinatoryka i prawdopodobieństwo rachunek różniczkowy.

Definicja silni jest taka, że ​​dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n, silnia:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Najpierw przyjrzymy się kilku przykładom silni z małymi wartościami n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
instagram viewer
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Jak widzimy, silnia staje się bardzo duża bardzo szybko. Coś, co może wydawać się małe, na przykład 20! faktycznie ma 19 cyfr.

Czynniki są łatwe do obliczenia, ale ich obliczenie może być nieco uciążliwe. Na szczęście wiele kalkulatorów ma klucz czynnikowy (poszukaj! symbol). Ta funkcja kalkulatora zautomatyzuje mnożenie.

Inną wartością silni i jedną, dla której nie ma powyższej standardowej definicji, jest zero silnia. Jeśli zastosujemy formułę, nie osiągniemy żadnej wartości dla 0!. Nie ma dodatnich liczb całkowitych mniejszych niż 0. Z kilku powodów należy zdefiniować 0! = 1. Silnia dla tej wartości pojawia się szczególnie we wzorach dla kombinacje i permutacje.

Podczas obliczeń ważne jest, aby pomyśleć przed naciśnięciem klawisza silni na naszym kalkulatorze. Aby obliczyć wyrażenie takie jak 100! / 98! istnieje kilka różnych sposobów rozwiązania tego problemu.

Jednym ze sposobów jest użycie kalkulator znaleźć oba 100! i 98!, następnie podziel jeden po drugim. Chociaż jest to bezpośredni sposób obliczenia, wiąże się z tym kilka trudności. Niektóre kalkulatory nie obsługują wyrażeń tak dużych jak 100! = 9,33262154 x 10¹⁵⁷. (Wyrażenie 10¹⁵⁷ to notacja naukowa, która oznacza, że ​​mnożymy przez 1, a następnie 157 zer.) Liczba ta jest nie tylko ogromna, ale także jedynie szacunkowa wartość rzeczywista 100!

Inny sposób uproszczenia wyrażenia za pomocą silni, taki jak ten widoczny tutaj, w ogóle nie wymaga kalkulatora. Rozwiązaniem tego problemu jest uznanie, że możemy przepisać 100! nie jako 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, ale zamiast tego jako 100 x 99 x 98! Wyrażenie 100! / 98! teraz staje się (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.