Prawdopodobieństwo wyrzucenia pełnego domu w Yahtzee?

Gra w Yahtzee wymaga użycia pięciu standardowych kości. W każdej turze gracze otrzymują trzy rzuty. Po każdym rzucie można przechowywać dowolną liczbę kości, a celem jest uzyskanie określonych kombinacji tych kości. Każda inna kombinacja jest warta inną liczbę punktów.

Jeden z tych rodzajów kombinacji nazywa się full house. Podobnie jak full house w grze w pokera, ta kombinacja zawiera trzy z pewnej liczby wraz z parą innej liczby. Ponieważ Yahtzee obejmuje losowe rzucanie kośćmi, tę grę można przeanalizować, korzystając z prawdopodobieństwa, aby ustalić, jak prawdopodobne jest wyrzucenie fulla za jednym razem.

Zaczniemy od przedstawienia naszych założeń. Zakładamy, że użyte kości są uczciwe i niezależne od siebie. Oznacza to, że mamy jednolitą przestrzeń na próbki składającą się ze wszystkich możliwych rzutów pięciu kości. Chociaż gra Yahtzee pozwala na trzy rzuty, rozważymy jedynie przypadek, w którym uzyskujemy fula w jednym rzucie.

Ponieważ współpracujemy z mundur

Liczba wyników w przestrzeni próbki jest prosta. Ponieważ jest pięć kości i każda z tych kości może mieć jeden z sześciu różnych wyników, liczba wyników w przestrzeni próbki wynosi 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Następnie obliczamy liczbę sposobów na wyrzucenie fulla. To trudniejszy problem. Aby mieć fula, potrzebujemy trzech kostek jednego rodzaju, a następnie pary kostek innego rodzaju. Podzielimy ten problem na dwie części:

• Jaka jest liczba różnych typów pełnych domów, które można wyrzucić?
• Jaka jest liczba sposobów, w jakie można wykonać rzut typu full house?

Gdy znamy liczbę każdego z nich, możemy pomnożyć je razem, aby dać nam całkowitą liczbę pełnych domów, które można wyrzucić.

Zaczynamy od spojrzenia na liczbę różnych typów pełnych domów, które można rzucić. Dowolna z liczb 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 może być użyta dla trójki. Pozostało pięć liczb dla pary. Tak więc istnieje 6 x 5 = 30 różnych typów kombinacji domów, które można rzucić.

Na przykład, moglibyśmy mieć 5, 5, 5, 2, 2 jako jeden typ full house. Innym rodzajem fulla byłyby 4, 4, 4, 1, 1. Kolejny to 1, 1, 4, 4, 4, który jest inny niż poprzedni full house, ponieważ role czwórki i ról zostały zmienione.

Teraz określamy inną liczbę sposobów na wyrzucenie konkretnego fula. Na przykład, każde z poniższych daje nam ten sam fula trzech czwórek i dwóch:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Widzimy, że istnieje co najmniej pięć sposobów na wyrzucenie konkretnego fula. Czy są jeszcze inni? Nawet jeśli wciąż wymieniamy inne możliwości, skąd wiemy, że znaleźliśmy je wszystkie?

Kluczem do odpowiedzi na te pytania jest uświadomienie sobie, że mamy do czynienia z problemem liczenia, i ustalenie, z jakim rodzajem problemu liczenia pracujemy. Jest pięć pozycji, a trzy z nich muszą być wypełnione czterema. Kolejność, w jakiej układamy nasze czwórki, nie ma znaczenia, dopóki dokładne pozycje są zajęte. Po ustaleniu pozycji czwórki, umieszczenie tych czwórek jest automatyczne. Z tych powodów musimy rozważyć połączenie z pięciu pozycji zajmowanych po trzy jednocześnie.

Aby uzyskać, używamy wzoru kombinacji do(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Oznacza to, że istnieje 10 różnych sposobów na rzut danego fula.

Podsumowując, mamy liczbę pełnych domów. Istnieje 10 x 30 = 300 sposobów na uzyskanie pełnego domu w jednym rzucie.

Teraz prawdopodobieństwo pełnego domu jest prostym obliczeniem podziału. Ponieważ istnieje 300 sposobów na wyrzucenie fulla w jednym rzucie i możliwe jest 7776 rzutów pięcioma kośćmi, prawdopodobieństwo rzucenia full houseem wynosi 300/7776, co jest bliskie 1/26 i 3,85%. Jest to 50 razy bardziej prawdopodobne niż wyrzucenie Yahtzee w jednym rzucie.

Oczywiście jest bardzo prawdopodobne, że pierwszy rzut nie jest fulasem. Jeśli tak jest, to mamy jeszcze dwie rolki, dzięki czemu fula jest znacznie bardziej prawdopodobna. Prawdopodobieństwo tego jest znacznie bardziej skomplikowane ze względu na wszystkie możliwe sytuacje, które należałoby rozważyć.