Jakie są Converse, Contrapositive i Inverse?

Oświadczenia warunkowe pojawiają się wszędzie. W matematyce lub gdzie indziej nie trzeba długo czekać na coś w rodzaju „Jeśli P. następnie Q. ” Stwierdzenia warunkowe są rzeczywiście ważne. Ważne są również instrukcje, które są powiązane z oryginalną instrukcją warunkową poprzez zmianę pozycji P., Q i negacja oświadczenia. Zaczynając od oryginalnej instrukcji, otrzymujemy trzy nowe instrukcje warunkowe, które nazywane są odwrotnością, przeciwieństwem i odwrotność.

Zanim zdefiniujemy odwrotne, przeciwne i odwrotne zdanie warunkowe, musimy zbadać temat negacji. Każde oświadczenie w logika jest albo prawdą, albo fałszem. Negacja stwierdzenia polega po prostu na wstawieniu słowa „nie” we właściwej części stwierdzenia. Dodanie słowa „nie” ma na celu zmianę statusu prawdy w stwierdzeniu.

Pomoże to spojrzeć na przykład. Oświadczenie „The trójkąt prostokątny jest równoboczny ”ma negację„ Właściwy trójkąt nie jest równoboczny ”. Negacja „10 to liczba parzysta” to stwierdzenie „10 nie jest liczbą parzystą”. Oczywiście za to ostatni przykład, możemy użyć definicji liczby nieparzystej i zamiast tego powiedzieć, że „10 to liczba nieparzysta”. Zauważamy, że prawda stwierdzenia jest przeciwieństwem tego negacja.

Zbadamy ten pomysł w bardziej abstrakcyjnym otoczeniu. Kiedy oświadczenie P. jest prawdą, stwierdzenie „nie P." to fałsz. Podobnie jeśli P. jest fałszywe, jego negacja „nieP." jest prawdziwy. Negacje są powszechnie oznaczane tyldą ~. Więc zamiast pisać „nie P.”Możemy napisać ~P..

Teraz możemy zdefiniować odwrotność, przeciwieństwo i odwrotność wyrażenia warunkowego. Zaczynamy od warunkowego stwierdzenia „Jeśli P. następnie Q.”

• Odwrotne zdanie warunkowe brzmi „Jeśli Q następnie P..”
• Przeciwne zdanie warunkowe brzmi „Jeśli nie Q potem nie P..”
• Odwrotna instrukcja warunkowa brzmi „Jeśli nie P. potem nie Q.”

Zobaczymy, jak te oświadczenia działają na przykładzie. Załóżmy, że zaczniemy od warunkowego stwierdzenia „Jeśli zeszłej nocy padało, chodnik jest mokry”.

• Odwrotne zdanie warunkowe brzmi: „Jeśli chodnik jest mokry, to wczoraj padał deszcz”.
• Przeciwne zdanie warunkowe brzmi: „Jeśli chodnik nie jest mokry, to nie padał zeszłej nocy”.
• Odwrotne zdanie warunkowe brzmi: „Jeśli zeszłej nocy nie padał deszcz, chodnik nie jest mokry”.

Możemy się zastanawiać, dlaczego tak ważne jest sformułowanie tych innych instrukcji warunkowych z naszego początkowego. Uważne spojrzenie na powyższy przykład ujawnia coś. Załóżmy, że oryginalne stwierdzenie „Jeśli padało wczoraj w nocy, chodnik jest mokry” jest prawdziwe. Które z pozostałych stwierdzeń również musi być prawdziwe?

• Konwersacja „Jeśli chodnik jest mokry, to wczoraj padał deszcz”, niekoniecznie jest prawdą. Chodnik może być mokry z innych powodów.
• Odwrotne stwierdzenie „Jeśli zeszłej nocy nie padał deszcz, to chodnik nie jest mokry” niekoniecznie jest prawdą. Znów to, że nie padało, nie oznacza, że ​​chodnik nie jest mokry.
• Kontrapozytywne „Jeśli chodnik nie jest mokry, to nie padał zeszłej nocy” to prawdziwe stwierdzenie.

Z tego przykładu (i co można udowodnić matematycznie) wynika, że ​​stwierdzenie warunkowe ma taką samą wartość prawdy, jak jego przeciwieństwo. Mówimy, że te dwie wypowiedzi są logicznie równoważne. Widzimy również, że wyrażenie warunkowe nie jest logicznie równoważne z jego odwrotnością i odwrotnością.

Ponieważ twierdzenie warunkowe i jego przeciwieństwo są logicznie równoważne, możemy to wykorzystać na naszą korzyść, gdy dowodzimy twierdzeń matematycznych. Zamiast bezpośrednio udowadniać prawdziwość twierdzenia warunkowego, zamiast tego możemy zastosować strategię pośredniego dowodu, aby udowodnić prawdę o twierdzeniu przeciwstawnym. Dowody kontrapozytywne działają, ponieważ jeśli przeciwieństwo jest prawdziwe, z powodu logicznej równoważności oryginalna instrukcja warunkowa jest również prawdziwa.

Okazuje się, że mimo tego odwrotność i odwrotność nie są logicznie równoważne z oryginalną instrukcją warunkową, są logicznie równoważne sobie nawzajem. Można to łatwo wyjaśnić. Zaczynamy od warunkowego stwierdzenia „Jeśli Q następnie P.”. Kontrastem tego stwierdzenia jest „Jeśli nie P. potem nie Q. ” Ponieważ odwrotność jest przeciwieństwem odwrotności, odwrotność i odwrotność są logicznie równoważne.