Przykład normalnego przybliżenia rozkładu dwumianowego

Rozkład dwumianowy obejmuje oddzielny zmienna losowa. Prawdopodobieństwa w ustawieniach dwumianowych można obliczyć w prosty sposób, stosując wzór na współczynnik dwumianowy. Choć w teorii jest to łatwe obliczenie, w praktyce może być dość żmudne, a nawet niemożliwe obliczeniowo obliczyć prawdopodobieństwa dwumianowe. Te problemy można ominąć, używając zamiast tego normalna dystrybucjado przybliżenia rozkładu dwumianowego. Zobaczymy, jak to zrobić, wykonując kroki obliczeń.

Najpierw musimy ustalić, czy właściwe jest zastosowanie normalnego przybliżenia. Nie każdy rozkład dwumianowy Jest taki sam. Niektóre wykazują dość skośność że nie możemy zastosować normalnego przybliżenia. Aby sprawdzić, czy należy zastosować normalne przybliżenie, musimy spojrzeć na wartość p, co jest prawdopodobieństwem sukcesu, oraz n, czyli liczba naszych obserwacji zmienna dwumianowa.

Aby zastosować normalne przybliżenie, rozważamy oba np i n( 1 - p ). Jeśli obie te liczby są większe lub równe 10, wówczas uzasadnione jest stosowanie normalnego przybliżenia. Jest to ogólna zasada ogólna i zazwyczaj im większe wartości

Porównamy dokładne prawdopodobieństwo dwumianowe z tym uzyskanym przez normalne przybliżenie. Rozważamy podrzucenie 20 monet i chcemy poznać prawdopodobieństwo, że pięć monet lub mniej to główki. Gdyby X jest liczbą głowic, to chcemy znaleźć wartość:

P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5).

The zastosowanie wzoru dwumianowego dla każdego z tych sześciu prawdopodobieństw pokazuje nam, że prawdopodobieństwo wynosi 2,0695%. Zobaczymy teraz, jak blisko naszego normalnego przybliżenia będzie ta wartość.

Sprawdzając warunki, widzimy, że oba np i np(1 - p) są równe 10. To pokazuje, że w tym przypadku możemy zastosować normalne przybliżenie. Wykorzystamy rozkład normalny ze średnią np = 20 (0,5) = 10 i odchylenie standardowe (20 (0,5) (0,5))^0.5 = 2.236.

Aby ustalić prawdopodobieństwo, że X jest mniejsza lub równa 5 musimy znaleźć z-score dla 5 w normalnym rozkładzie, którego używamy. A zatem z = (5 – 10)/2.236 = -2.236. Sprawdzając tabelę z- wyniki widzimy, że prawdopodobieństwo, że z jest mniejsza lub równa -2,236 wynosi 1,267%. Różni się to od rzeczywistego prawdopodobieństwa, ale mieści się w granicach 0,8%.

Aby poprawić nasze oszacowanie, należy wprowadzić współczynnik korekty ciągłości. Jest to używane, ponieważ a normalna dystrybucja jest ciągły natomiast rozkład dwumianowy jest dyskretny. Dla dwumianowej zmiennej losowej histogram prawdopodobieństwa dla X = 5 będzie zawierać słupek, który przechodzi z 4,5 do 5,5 i jest wyśrodkowany na 5.

Oznacza to, że w powyższym przykładzie prawdopodobieństwo, że X jest mniejsza lub równa 5 dla zmiennej dwumianowej należy oszacować na podstawie prawdopodobieństwa, że X jest mniejszy lub równy 5,5 dla ciągłej zmiennej normalnej. A zatem z = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. Prawdopodobieństwo, że z